Александр Чирцов про понятие производной и интеграла

В очередной раз спасибо докладчику. Математика действительно хитрее устроена, и математики не просто так наводят формализмы, ибо бывают какие-то вещи, которые интуитивно кажутся верными, но на самом деле таковыми не являются. С другой стороны, для изложения физики едва ли нужны именно все внутренние выражения и до некоторой степени можно заменить формальный вывод тех же производных простой таблицей переписывания. В некотором смысле, математики только и умеют брать одно выражение, заменять в нем одну последовательность символов на ту, которая им кажется эквивалентной, и так пока не надоест.

Можно такой вопрос, если Вы занимаетесь квантовой механикой, то, возможно, знаете откуда там берутся йордановы алгебры? По своей специальности я ими занимаюсь, но, к своему стыду, так и не могу дойти до физики, откуда они возникли.

Производная функции это предел отношения
приращения значения функции к приращению
аргумента функции (в заданной точке)
когда приращение аргумента стремится к нулю.
В институте сначала давали теорию пределов
и только потом дифференциальное исчисление
(производные), а потом интегральное исчисление.
Всё за один первый семестр первого курса.

Кому: gnober, #2

> Производная функции это предел отношения
> приращения значения функции к приращению
> аргумента функции (в заданной точке)
> когда приращение аргумента стремится к нулю.

А потом оказывается, что это не самое удобное определение, если мы хотим дифференцировать, например, комплексные функции или многомерные вещественные. Оказывается, что производную лучше понимать как локальное линейное приращение. Потом окажется, что вообще-то производными можно называть вообще всё, что удовлетворяет правилу Лейбница
D(ab)=aD(b)+D(a)b.

Кстати, можно дать производные и не вводя вообще говоря строго понятия предела, а только через язык O-большое и о-малое. Кстати, о-малое это не бесконечно маленькая величина, если на то пошло, а просто некоторое замечание о соотношении двух функций.

Это к тому, что дать полное изложение теории всех дифференцирований тяжело и уважаемый докладчик заведомо упрощает. И на данном этапе это вполне нормально.

Кому: gnober, #2

Если не ошибаюсь докладчик дает графическое (или геометрическое) определение производной. Оно все-таки проще для понимания. Указанное в комменте тоже верно, но понять его гораздо тяжелее.
Смысл лекции - популяризация науки, а не подготовка проф математиков.
Считаю, что лектор отлично справился!

Кому: Cardan, #4

+1

Спасибо большое за понятное введение в операторы. Надеемся на столь же понятное введение в теорию вероятностей. Сама теория проблем никогда не вызывает, но вот ее приложение к реальным проблемам через мат статистику вызывает непреодолимый творческий кризис, т.е. решаются только нетворческие задачи, а творческие задачи не решаются.

Кому: kenjunito, #3

Странно, что про дробную производную не вспомнилось :)

А тут недалеко и до функционалов, аргументом которых является порядок производной!

Кому: kenjunito, #1

Спасибо. Ваш вопрос из области математической формализации квантовой механики. Это, увы, не мое. Для моих целей всегда было достаточно весьма элементарной математики обращения с операторами и программирования результатов для конкретных вычислений. Может быть путь к ответу на Ваш вопрос начинается тут:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D0...

Кому: kenjunito, #3

Это верно и несомненно. Спасибки :)

Кому: Batala, #6

Теперь уже когда дойдет дело до кватовой механики...

Кому: mustang, #7

А что, можно ввести производную дробного порядка? Инт ересно - не знал. Расскажите, пожалуйста :). Это для многих идей квантовой механики было бы интересно....

Кому: kenjunito, #1

> откуда там берутся йордановы алгебры

Йордановы там появляются не в чистом виде, а как часть структуры JLB алгебры, последние по-существу задают те же данные что и обычные C^* алгебры наблюдаемых.

Кому: alex_chirtsov, #11

Производные дробного порядка это элементарный пример из теории псевдодифференциальных операторов. Дифференцирование при фурье преобразовании переходит в умножение на переменную, можно это переменную записать в дробной степени, вот и вся идея. Математически могут получаться сложные для анализа локальные операторы для этого и была построена теория псевдодифференциальных операторов.

Кому: quintic, #13

Спасибо большое, quintic. Теперь понял, о чем идет ресь - забавно :) Просто при попытке перейти о т классической квантовой механике к релятивистской в гамильтониане возникает корень из нелинейного выражения, сожержащего оператор импульса, что вызывает определенные затруднения с его интерпритацией. Один из стандартных выходов (как, я думаю, Вам прекраснго известно, состоит во возведении в квадрат соответствующего уравнения, что приводит к появлению добавочных решений, интерпритируемых как аничастицы. Прочитав про дробные степени оператора дифферецирования, я подумал о том, нельзя ли попытаться решить эту проблему с их помощью как-то по-другому... Погдумаю на досуге, хотя вряд ли эта идея тут поможет :)

Кому: alex_chirtsov, #8

Спасибо, про самосопряженные мне, конечно, известно. Собственно, это и есть важнейший пример йордановых алгебр. Я плохо задал вопрос, понятно где искать описание, хоть и в работах йордана. Но, быть может, вы знаете хорошую книгу, где эта теория изложена хорошо (и так я схалтурю на поиске).

Кому: quintic, #13

Занятно. Мы на мехмате много интересного проходили, но такого я не видел.

Кому: alex_chirtsov, #14

Это Вы схему квантования Вейля в релятивистском случае хотите провернуть. В не релятивистском случае гамильтониан p^2+U(q) поэтому если научиться квантовать импульс и координату, то любой такой гамильтониан сразу квантуется, нет никакой проблемы с тем как квантовать например мономы: pq как PQ, как QP или может быть как 1/2(QP+PQ)? Если речь заходит про то как проквантовать более сложные наблюдаемые, которые не представляются в виде суммы функций от координаты и от импульса, то нужно выбирать какую-то математическую схему квантования. Схема квантования при помощи преобразования Фурье была исторически одной из первых, ее предложил Вейль в своей книге 1928 года (для сравнения гильбертовы пространства были введены в квантовую механику в книге фон Ноймана в 1932).

Но на мой взгляд, проблема не в том как релятивистский гамильтониан с корнем квантовать, она гораздо хуже. Для квантования нужна либо лагранжева, либо гамильтонова формулировка релятивистской механики и та и другая на самом деле весьма сложны с математической точки зрения уже на классическом уровне. Лагранжева версия имеет огромную калибровочную группу, в Гамильтоновой версии нужно учитывать связи. Это усложняет весь процесс.