Александр Чирцов про макроскопическую теорию в диэлектриках

Простите, а этот ролик совсем не вызвал никакого обсуждения?

Если занудствовать, то интегральные и дифференциальные законы не эквивалентны, так как в последнем случае мы хотим гладкие функции. Когда у нас была механика, там были ударные волны, которые сильно плохо решаются в терминах непрерывных функций. Есть аналоги "ударных волн" в электродинамике?

Я никак не могу разобраться с зарядом-изображением. Дело в том, что для проводника всё было просто: E(r)=E0(r)+E1(r)=E0(r)+E1(r')=E0(r)+E(r')-E0(r')=E0(r)-E0(r')=E0(r)-E'0(r) (' -- операция симметричного отражения относительно плоскости). Здесь было важно, что поле, порожденное выступившими на поверхности зарядами -- симметричное. Ну и E(r') = 0, в проводнике заряд нуль.

А теперь у нас диэлектрик и на поверхность вылезают диполи. Опять же, вроде как поле, ими порождаемое -- симметричное (?). А значит E(r)=E0(r)-E'0(r)+E(r'). И что делать дальше? градиент E(r') нуль, но это мало что говорит мне.

Кому: kenjunito, #2

Не нужно "занудствовать". :) Не слишком сложно обобщить понятие производной, а вместе с ней - и действия оператора "набла" на случай функций с разрывами. Очень скоро, когда нам это по-настоящему понадобится, соответствующее обобщене будет сделано....

Кому: Zeydlitz, #3
НЕ имея возможности писать формулы ответить трудно :(. Один из самых простых способов - воспользоваться граничными условиями для векторов E и D.Эти условия следуют из интегральных теорем. Из равенства 0 циркуляции вектора Е легко показать, что Ex1 = Tx2 (проекции ектора Е на ось оХ, напраленную вдоль границы раздела со стороны в одной (1) и другой (2) сред. Из теоремы по потоке вектора D подно показать, что на гранце раздела нормальные составляющие этих векторов (их проекции на ось OZ, направленную перпендиклярно границе раздела должны меняться на 4пS= Dz2-Dz1 (S - поверхностная плотность свободного заряда на гранце, в нашем случае равная 0). Т.о на границе Dz2 = Dz1 или Ez2*(epselon) = Ея1 (***) (в каждой точке границы раздела, epselon -диэлектрическая проницаемость). Поля вычисляются точно на границе!
Из соображений симметрии ясно, что заряд-зображение (если он существует) должен располагаться на перпендикуляре от исходного свободного заряда к границе. Где - и какой величины - нужно найти Этот заряд при расчете поля над гранцей следует помещать под ней и наоборот. А теперь - попытайтесь из условия (***), которое должно выполняться в каждой точке границы , анйти величину заряда-изображение и расстояние от него до границы...
Ответ: h'=+-h , q'=-q(eps-1)/(eps+1)

Кому: Zeydlitz, #1

А теперь все комментарии закрыты :(. Сколько я раз предлагал закрывать их для писанины от дураков. А закрыли - от все. Это общее правило: нормальные люди от дураков всегда страдают и ни один политический строй не пытается сделать так, тоюы было наоборот :). Пишите на мой акаунт - он блокируется только от убогих, а нормальным людям открыт....
https://www.youtube.com/channel/UC8KoVY1Rk1ygj5bRCJDLL_g?view_as=subscriber

Я хотел рассказать, как считать потенциал равномерно заряженной сферы без интегрирования, а с суммированием. Красиво. Это еще интересно?

Я пытался считать поле в диэлектрической сферы в однородном поле и получается так: эта задача имеет ось симметрии, проходящую через центр сферы. А значит искомое поле должно выдерживать поворот вокруг этой оси. Значит если взять точку А, и взять окружность поворотов этой точки (ну, то есть если цилиндрические координаты A -- r, ф, z, то окружность с постоянными r и z), то на ней скалярное произведение (E,dl) константа, значит E -- перпендикулярен dl. Если взять цилиндр малой высоты dz (то есть точки rx,фx,zx: rx<r, фx любые, z-dz<zx<z), то у этого цилиндра потоки через верхнюю крышку и нижнюю можно считать обнуляющими друг друга, и останется (E,dS), которое одинаково для верх точек бока цилиндра, значит E -- перпендикулярен dS. То есть E = f(r,z)E0. То есть у E есть только z-вая компонента, и divE = E0*df(x,y,z)/dz = 0.
rotE = E0 * ( df(x,y,z)/dy, -df(x,y,z)/dx, 0) = 0. То есть E -- постоянное и внутри шара, и снаружи, а на границе испытывает разрыв.

Чтобы вычислить значение поля внутри шара, надо посчитать граничные условия: (D1-D2, n) = 0, где n -- вектор нормали к поверхности шара. Для цилиндра, кстати, мне все понятно: на верхней крышке (D1-D2, n) = D1 - D2, то есть E2 = 1/e * D2 = 1/e * E1. На боку компоненты D перпендикулярны нормали и, опять же, получился нуль. А вот как для сферы считать?

Кому: Zeydlitz, #7

Для наала попробуйте рассчитать поле внутри однородно поляризованного шара в пустоте. Такой шар можно считать сумой двух шаров,равномерно заряженых по объему положительноой и отрицательной плотностями зарядов, а их центры должны быть сдвинуты друг относительно друга на величину длины одного диполя...

Отлино! А теперь осталось учесть, что внесенный в однорродное электрическое поле однородный шар поляризуется однородно (такое предположение приводит к самосогласованному результату, а теорема единственности говрит, что так оно всегда и будет). Тогда внутри шара каждая молекула превращается в диполь с моментом d = Alpha*E, где Alpha - поляризуемость молекулы, а Е - полное поле внутри шара, которое складывается из внешноего поля Ео и поля, создаваемого самим поляризованным шаром которое Вы считать умеете. В результате получается уравнение для величины дипольного момента внутри шара, которое позволяет выразить d через Ео. Найдя дипольный момент, Вы сосчитаете суммарное поле внутри шара, которое выразится через Ео и поляризуемость молекулы. Остается только вспомнить связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью и концентрацией молекул Epsilon = 1+4*Pi*Alpha и правильный (почти правильный) ответ готов!

Посмотрим: d=aE0-ad/r^3, d =ar^3/(a+r^3)*E0, E=E0*r^3/(a+r^3), E=E0/(1+(e-1)/3V). Объем вылез.

Правильно, в Вашей фрпсуле для поля внутри шара что-то не так Правильный ответ (4/3)п P=(4/3)п*N* d, где N - концентрация диполей...

Я тормоз. У меня дипольный момент молекулы и шара склеились. dШ = VN * d = 4/3pi*R^3 * N *d. Eш = -V*N*l/R^3 = -4/3pi * N * d. d = aE = a(E0+EШ) = aE0 - (4/3pi)aN * d, d = E0 * a / (1 + (4/3pi)aN) ), E = E0+EШ = E0 / ( 1 + (4/3pi)aN), 4pi*aN = e-1, E = E0 / (1 + (e-1)/3) = E0 3/(2 + e). Ура. А теперь вопрос, который меня мучает: это поле внутри шара. Снаружи E+ = E0 + 3(x,dШ)x/|x|^5 - dШ/|x|^3 = E + (x,dШ)x/|x|^5. Мне очевидно, что вне границы шара поле E -- это поле с нулевыми ротором и дивергенцией. То есть для завершения решения надо проверить граничные условия? Условий, как я понимаю, два -- одно про векторное поизведение E+-E на вектор нормали к границе, он параллелен x, то есть это условие выполнено. А второе (D+-D, n) = 0? Вроде так получается (на границе x=Rn): E+ = E + 3 (n, d/R^3) n = E0 * 3/(2+e) + 3 (n,E0)n(e-1)/(2+e)=
3/(e+2) * (E0 + (n,E)(e-1). То есть D+ - D = 3(1-e)/(e+2) ( E0 - (n,E0)n ). Умножая скалярно на n получим: 3(1-e)/(e+2) * ((E0,n) - (n,E)) = 0.

Кому: alex_chirtsov, #4

> Не нужно "занудствовать". :)

Я же (немного) математик, как это не надо занудствовать?

Кому: kenjunito, #14

Дело в том, что и интегральная и дифференциальная форма уравнений Максвелла реально записана для непрерывно дифференцируемых полей. Если у вас векторное поле испытывает разрывы, то к уравнениям Максвелла надо добавить 4 граничных (в статитке -- это два дополнительных уравнения).

Кому: Zeydlitz, #15

А есть явления, когда поля разрывны?

Кому: kenjunito, #16

Пол разрывны? Вы хотели, наверное, сказать, что разрыны функции, которыми мы условно описываем поля... :). Ведь поле, это нечто, что придумано для описания механизма передачи взаимлдействий межлу объектами Как нечто придуманное может быть азрыным или не разрявным? И вообще, как ввести понтие разрывности или неразрывности в случае, когда количественное описание пространственных и временных аргументов - скорее всего дискретно?

Теперь про цилиндр. Я долго думал, что цилиндр параллелен полю, а потом понял, что это другая задача -- бесконечный цилиндр, перпендикулярный полю. Поле равномерно заряженного цилиндра считается легко из уравнения Гаусса. Мы расположим цилиндр по оси z, а поле E0 -- пойдет по оси x. Тогда для точки r поле равномерно заряженного цилиндра внутри 2pi*r'*Nq, а вне цилиндра -- 2pi*Nq*r'*(R^2/r'^2) (r' -- проекция вектора r на плоскость yz). Осюда Eц = -2pi*Nd, d=a/(1+2pi*aN)*E0=a/(1+(e-1)/2)=2a/(e+1)E0, E=E0+Eц=E0(1-4pi*aN/(e+1))=2/(e+1)E0. Здесь константа получилась 2/(e+1).

Кому: Zeydlitz, #18

Очень даже неплохо! :)

Есть еще одна вещь, вы как-то просили рассказать, как доказывается, что скобка Пуассона для операторов есть -ih на коммутатор. Это, кстати, есть следствие теоремы ABC. Для операторов [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B и [A,BC]=B[A,C]+[A,B]C (это правило Лейбница). Если теперь применить эти выражения к [AB,CD], то можно получить два разных выражения в зависимости от порядка применения правила Лейбница. Причем члены типа A[B,C]D будут общими, а вот отличающиеся выражения дадут: [A,C](BD-DB)=(AC-CA)[B,D]. И это для любых операторов A,B,C,D. Отсюда сделаем финт: B возьмем оператором координаты, а D -- импульса. Коммутатор этих операторов это оператор умножения на константу ih (потому что производная по x от xf -- это f+xf', член с производной общий у BD и DB, а остается ihf). Скобка Пуассона для операторов координаты и импульса это -1 (только один член суммы будет не нулевым). То есть [A,C]*ih=-(AC-CA), отсюда [A,C]=i/h(AC-CA). Я смог найти похожее рассуждение вот тут: https://radfiz.org.ua/files/k3/kvmeh/3%20practika.pdf , на странице 11.

Простите, но разве получая выражение : [A,C](BD-DB)=(AC-CA)[B,D] вы не переставляли местами операторы В и С?

Нет. Придется расписывать подробно [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=AC[B,D]+A[B,C]D+C[A,D]B+[A,C]DB. Это одним способом. [AB,CD]=C[AB,D]+[AB,C]D=CA[B,D]+C[A,D]B+A[B,C]D+[A,C]BD. Обратите внимание, средние члены совпадают, а не совпадающие такие: AC[B,D]+[A,C]DB=CA[B,D]+[A,C]BD, отсюда [A,C](BD-DB)=(AC-CA)[B,D]. На самом деле, этот вывод справедлив для любой "скобки", для которой верно правило Лейбница.

Я тут подумал, что переход [A,C]BD-[A,C]DB=[A,C](BD-DB) следует доказывать, а мне лениво. Надо просто взять импульсом и координатой пару операторов A,С, тогда их скобка -- умножение на -1, и для них это тождество очевидно. Вторая пара AC[B,D]-CA[B,D]=(AC-CA)[B,D] по определению разности опереаторов, то есть тут все просто.

p.S. На самом деле это тождество верно для эрмитовых операторов, потому что его можно транспонировать и получить разность операторов.

Кому: Zeydlitz, #23

НЕплохо. Очень даже. Спасибо...