Александр Чирцов: Момент истины о моменте инерции

Почему некоторые ролики Александра Чирцова попадают в раздел "Образование", а некоторые в раздел "Наука"? Трудно отследить последовательность.

С каждой лекцией всё интереснее и интереснее. Спасибо!

Математика тоже не такая линейная на самом деле. К сожалению, иначе это было бы слишком хорошо. Как минимум в самом начале математики, там где теория множеств есть крайне не четкие конструкции. Можно сказать, что мы должны знать, что такое натуральные числа и из этого выводить все, в том числе и натуральные числа. А это, как вы понимаете, порочный круг.
Если эти начала не противоречивы (что опять же нельзя доказать, можно лишь теоретически доказать противоречивость математики), тогда все более или менее ровно. Но опять же, многие вещи в школе, в вузе изучаются по нескольку раз в новых интерпретациях.

Насчет приведения самосопряженных операторов к диагональному виду - понятно почему вы так говорите, но это очень простая часть общего факта в очень хорошем случае, и если рассказывать только её, это можно довольно быстро сделать. Читается долго как раз из-за случая неполупростых операторов и над произвольными полями.

И ещё раз спасибо за интересную лекцию.

Кому: kenjunito, #3

> Но опять же, многие вещи в школе, в вузе изучаются по нескольку раз в новых интерпретациях.

Это ведь не только в математике :)

А про прецессию так и не было рассказано. Я разочарован так как именно прецессию я не понимаю.

Заинтригован с самого начала (14-15 мин.) – какого человека в своей книге Александр «обидел», не упомянул? :)

Если исходить из того, что: это «наш соотечественник», «его отец» (с), учебник для гуманитариев (экономистов и т.д.), «синергетика» (с) и т.д., то у меня складывается впечатление, что вероятнее всего это Капица, или, менее вероятно, Кузнецов.

Хотя могу ошибаться – это трёп, хотя все-таки хотелось бы услышать правильный ответ :).

Кому: kenjunito, #3

Уважаемый автор! Если не трудно, покажите, как это сделать коротко и просто - думаю многим это будет интересно. А мне еще и полезно. Это все же не на 100% моя область. Допускаю, что я знаю чересчур "перенакрученный" вариант

Кому: alex_chirtsov, #7

> Уважаемый автор! Если не трудно, покажите, как это сделать коротко и просто - думаю многим это будет интересно. А мне еще и полезно. Это все же не на 100% моя область. Допускаю, что я знаю чересчур "перенакрученный" вариант

Не думаю, что это кому-то интересно будет, кроме вас. А вы и так знаете как это использовать и как это доказывать.
Если только её излагать, с учетом, что люди знают, что такое матрица и скалярное произведение - можно за 2 лекции уложится. В этом плане быстрее, чем общая теория жорданова разложения.

Кому: kenjunito, #3

Если сможете не очень долго и не очень сложно рассказать о приведении к диагональному виду, будем очень благодарны.

Кому: alex_chirtsov, #7

Как можно попроще объяснить, что тензор это обобщение скаляра поясните пожалуйста. Я просто сам этого не понимаю, но объяснить надо.

Здравствуйте! Александр Сергеевич, помогите разобраться в практической задаче с математической точки зрения.
Задача.
Есть два вилосипедиста близнеца с абсолютно одинаковыми физическими показателями. Два абсолютно одинаковых велосипеда.
У них заезд. Один везнт груз массой m в рюкзаке на спине, другой груз такой же массой m на раме велосипеда. Где эффективнее езда системы велосипедист-велосипед ?

Кому: Batala, #9

Найдем у самосопряженного оператора собственное значение, на соответствующем собственном подпространстве он действует умножением на число, возьмем ортогональное дополнение к этому собственному подпространству, ясно что оно инвариантно относительно оператора, повторим процедуру. В силу конечномерности мы завершим диагонализацию за конечное число шагов. Вот и вся диагонализация.

Кому: Thrawn85, #11

Для начала поставьте эксперимент: набейте рюкзак 30 кг картошки (а лучше- булыжников) и попробуйте проехать с ним 100 км в одну сторону, держа его на спине, а обратно - те же 100 км на раме. Проанализируйте свои ощущения и знайте, что это на порядок проще, чем если бы Вы попытались проехать на велосипеде 150 км с девушкой (пусть даже и на отдельном велосипеде). %)

Кому: Batala, #10

Ну как объяснить? Если взять тензор, все элементы матрицы которого равны 0, кроме стоящих на диагонали, а все диагональные - равны одному и тому же числу, например b, то умножение этой матрицы на вектор А даст bA -точно такой же результат, как умножение скаляра на вектор.

Кому: quintic, #12
Если честно, я не уверен, что для большинства слушателей утверждения "1) возьмем ортогональное дополнение к этому собственному подпространству, 2) ясно что оно инвариантно относительно оператора," вносят много дополнительной ясности. Но по большому счету Вы, конечно, правы :)

Кому: kenjunito, #8

Ааааааа- "доказать за пару лекций" - это я. действительно, умею и сам. Вопрос был о другом: как объяснить минут за 10-15 человеку, который только что понял, что матрица - это такая табличка, а симметричная отн. диагонали матрица - это такая табличка, у которой... (далее сами понимаете :)

Кому: quintic, #12

> Найдем у самосопряженного оператора собственное значение, на соответствующем собственном подпространстве он действует умножением на число, возьмем ортогональное дополнение к этому собственному подпространству, ясно что оно инвариантно относительно оператора, повторим процедуру. В силу конечномерности мы завершим диагонализацию за конечное число шагов. Вот и вся диагонализация.

Ещё нужно показать, что собственно число вещественное. Через скалярное произведение в эрмитовых пространствах это очевидно, как без этого - я не могу сообразить. А это ещё небольшая кучка.
А ещё каждый шаг нужно проделать руками, это часа 3 и займет.

Кому: alex_chirtsov, #16

Эх, самому бы узнать.
Минут за 15 то, что вы сказали, что есть такой способ, как мне, кажется вполне достаточно. Можно показать алгоритм, благо он простой. Но это минут 15-30. А чтоб понимание осталось - там все-таки пару тонких моментов есть, интуиция не помогает, школьная математика тоже. Как это сделать, не потратив усилий и времени - мне не ведомо. Это примерно из разряда объясните мне откуда берутся уравнения Навье-Стокса, если человек не знает вещественного анализа.

Кому: kenjunito, #17

> Через скалярное произведение в эрмитовых пространствах это очевидно, как без этого - я не могу сообразить. А это ещё небольшая кучка.
> А ещё каждый шаг нужно проделать руками, это часа 3 и займет.

В смысле как без этого? Самосопряженные операторы можно определить только для эрмитового пространства, они дают алгебру Ли линейных симметрий эрмитовой структуры. И эта же эрмитова структура позволяет легко доказать диагонализуемость.

Какие шаги? В моем комментарии дано полное доказательство диагонализуемости самосопряженного оператора, никаких дополнительных шагов не нужно. Это скорее 3 минуты, чем 3 часа.

Кому: quintic, #18

> В смысле как без этого? Самосопряженные операторы можно определить только для эрмитового пространства, они дают алгебру Ли линейных симметрий эрмитовой структуры. И эта же эрмитова структура позволяет легко доказать диагонализуемость.

Все до этого пункта можно делать в евклидовом пространстве. Эрмитово нужна для ради алгебраической замкнутости и разложения хар.полинома.

> Какие шаги? В моем комментарии дано полное доказательство диагонализуемости самосопряженного оператора, никаких дополнительных шагов не нужно. Это скорее 3 минуты, чем 3 часа.

Не, это схема. Если её подробно расписывать, времени будет сильно больше.

Кому: Batala, #9

> Если сможете не очень долго и не очень сложно рассказать о приведении к диагональному виду, будем очень благодарны.
Есть такое понятие в линейной алгебре - собственные значения и собственные векторы. Собственные векторы - это такие векторы, которые не меняют своего направления при его умножения на данную матрицу. То есть
МR = LR, где М - матрица, R - собственный вектор, L (вернее лямбда) - собственные значения.
Уравнение для нахождения собственных значений (и собственных векторов): M - L1=0, где 1 - единичная матрица.

Данная матрица в базисе из собственных векторов - имеет только диагональные элементы.

Пример тензора 2-го ранга - ковариационная матрица ошибок.
А эллипс, которым также можно описать тензор - это эллипс рассеяния.
Оси эллипса рассеяния - это собственные векторы

Кому: Yury_L, #21

Что ваш пример, что тензор инерции это всего лишь симметрические матрицы. Стоит ли такие простые объекты называть тензорами? Никакое понимание общей теории тензоров тут для понимания не требуется, слово тензор только смущает людей которые это первый раз видят. Гораздо лучше тут подходит термин “оператор инерции”, т.е. отображение которое из вектора делает новый вектор линейным образом.

У физиков, как я понимаю, принято говорить тензор когда у объекта при записи в координатах появляется больше одного индекса.

Интерпретаций в виде эллипсоидов тензоры вообще говоря не имеют, но если наш тензор это всего лишь положительная симметрическая матрица, то с ней можно ассоцировать эллипсоиды: надо взять квадратичную форму матрицы, ее поверхности уровня это и будут искомые эллипсоиды. Выбор эллипсоида не однозначен и в динамике твердого тела соотвествует выбору значения энергии как интеграла движения.

Кому: quintic, #22

> Стоит ли такие простые объекты называть тензорами? Никакое понимание общей теории тензоров тут для понимания не требуется, слово тензор только смущает людей которые это первый раз видят. Гораздо лучше тут подходит термин “оператор инерции”, т.е. отображение которое из вектора делает новый вектор линейным образом.
>
> У физиков, как я понимаю, принято говорить тензор когда у объекта при записи в координатах появляется больше одного индекса.

Вообще говоря, тензоры придумали математики, и у них тензор - это не любая матрица, пусть даже симметрическая, а та, которая преобразуется из одной координатной системы в другую определенным образом.
Например, если задан некий вектор А в одной системе координат, а матрица перехода из одной системы в другую - М, то этот вектор в другой системе координат определяется А'= МА, т.е М - это матрица поворота.
А вот тензор Т при переходе из одной системы в другую определяется
Т' = М^(T)TM, где M^(T) - транспонированная матрица.
Вот этот оператор перехода - определяет преобразование некой квадратичной формы, и поэтому тензор 2-го ранга можно задать в виде эллипса. Ну и ковариационная матрица - она же квадратичная, в том смысле, что ее элементы задаются в виде произведения si*sj, а по диагонали стоят квадраты.
Еще интересно такое свойство тензоров, как инвариант 1-го порядка. А именно - сумма диагональных элементов не меняется при линейных преобразованиях, и эта сумма называется следом матрицы.
В случае ковариационной матрицы - это сумма дисперсий, или мощность случайного процесса.

Александр, дайте, пожалуйста, ссылку где скачать упомянутую вами программу-симулятор.

Кому: Yury_L, #23

Я знаю тензорную алгебру, тензоры это элементы тензорных произведений векторных пространств, а тензорное произведение пространств это область значения универсального полилинейного отображения (в том смысле что любое другое полилинейное отображение через него проводится). Можно тензоры написать в координатах и найти законы преобразования при замене координат, но это уже следствие/упражнение.

Но для механики твердого тела это все не нужно, так же как не нужно что-то знать про тензоры, чтобы работать с линейными отображениями или квадратичными формами.

На мой взгляд, принципиально важными математическими объектами контролирующими динамику твердого тела являются группа Ли SO(3) и ее алгебра Ли so(3), но про них при изложении этого сюжета обычно не говорят либо говорят не достаточно ясно. Так сложилось по историческими причинам: с динамикой твердого тела разобрались задолго до того как язык групп и алгебр Ли стал общепринятым. Но с современной точки зрения такое изложение выглядит как комбинация временных затычек появившихся на заре линейной алгебры. Сейчас уже математиков не учат «векторным произведениям» или «псевдовекторам». Дело не в том, что векторное произведение чем-то плохо, а в том, что оно просто бессмысленно как математическая операция, это всего лишь формула. При этом эта формула возникает как минимум при трех абсолютно разных математических операциях в динамике твердого тела: 1. угловая скорость как векторное произведение, здесь имеется ввиду, что угловая скорость это элемент алгебры Ли so(3) который получается из бивектора 2. Линейная скорость как векторное произведение угловой и радиус вектора, это просто действие алгебры Ли so(3) на пространстве 3. Моменты сил или импульса это функционалы на алгебре Ли so(3) которые опять же записаны в координатах той же формулой. Если неявно отождествить (что физики и делают) пространство и алгебру Ли so(3) (в конце концов и то и другое изоморфно \R^3), то получится такая странная картина где вращения контролируются псевдовекторам, три абсолютно разных математических операции сливаются в одну формулу и все это приводит к куче несуразностей типа того, что эллипсоид инерции оказывается вложенным в пространство, в то время как это подмножество алгебры Ли (потому что момент инерции это квадратичная форма на алгебре Ли).

Интересно, что если, в качестве развлечения, сделать теорию вращения твердого дела в 4D, то там так напутать уже не получиться: пространство будет 4х мерным, а алгебра Ли уже 6ти мерной, вращения векторами не описываются, векторного произведения при всем желании нет, и тензор инерции вместе со своим эллипсоидом живет в 6ти мерном пространстве.