Александр Чирцов про дивергенцию и ротор

Я ни фига не понял формулы. Слишком далеко это от меня. Но когда ув. Чирцов переходит на "обычный" язык, слушать очень интересно! Немало нового узнаешь. Ну хотя-бы про движение продольных волн в плазме со скоростью больше С. Захотелось подробностей! Прямо интрига. Нигде больше этого не читал, не слышал. Зато о том, что превысить С запрещает именно Теория Относительности, не написано, кажется, только на заборе. И тут такой поворот!

Не понятно ровно одно: можно ли в ротор интегрировать?

Кому: Sable, #2

Ротор есть, значит интегрирует (с)

Прошло уже лет двадцать, когда в универе все это проходил. И сейчас уже и не помню ничего и понимаю слабо. Но с момента экзамена по физике на первом курсе одно почему-то запомнил на всю жизнь, что ротор ротора - это градиент дивергенции минус оператор Лапласа.

Кому: Марков Алексей, #1

Фазовая скрость может быть больше скорости света запросто.

Если лектор не рассмотрел простые (!) численные примеры для ротора и дивергенции и не нарисовал на графике, то понять сложно. Это я по студентам знаю.

Ролик из-за хилого интернета не посмотреть.

Кому: Urbat, #4

Это нужно, чтобы волновое уравнение из уравнений Максвелла вывести

По-моему, не совсем корректно употребляется термин "эпицентр". В данном контексте, наверное, лучше просто "центр", поскольку "эпицентр" - это проекция на поверхность (Земли).

Ротор поля наподобие дивергенции градуирует себя вдоль спина и там, внутре, обращает материю вопроса в спиритуальные электрические вихри, из коих и возникает синекдоха отвечания…

С точки зрения математики дивергенция и ротор возникают при перетаскивании дифференциала де Рама с комплекса де Рама на поливекторные поля. Если перетащить при помощи формы объема, то получается дивергенция, а если при помощи метрического тензора, то ротор.

Язык «векторного анализа» на котором говорят физики и инженеры с точки зрения математика всегда выглядит архаично и просто глупо. Формализм этот построен в 19ом веке, когда понимания многомерного анализа еще не было. Потом это попало в учебники типа Фихтенгольца, Ильина-Позняка, Смирнова и прочую макулатуру и теперь уже больше полувека изучается в университетах всеми кому нужно поверхностное знакомство с математикой вместо многомерного анализа.

Кому: quintic, #9

> Язык «векторного анализа» на котором говорят физики и инженеры с точки зрения математика всегда выглядит архаично и просто глупо

Помню как в школе долго и нудно все это пытался сдать. Если немного запустить предмет, что по молодости и отсутсвию мозга я часто практиковал - то понять самому почти нереально. Тем не менее со второй попытки и акдемического отпуска я таки въехал в эти тензоры, роторы и дивергенции и сдал электродинамику, но интегральное исчисление у меня до сих пор вызывает нервный тик. А потом уже курсом старше узнал про существования геометрической алгебры и алгебры Клиффорда и у меня был просто разрыв шаблона, как там некоторые операции просто и изящно выполнялись. Всего лишь поворот там какой-нибудь заменял долгое и нудное интегрирование и пачку тензоров, то что раньше пару листов занимало выкладок там описывалось парой строчек. ЯМР И ЭМР, который в электродинамике был апофеозом сложности и проходился самым последним и никем, кроме единиц вообще не понимался, а после академа другой лектор его даже и не затрагивал, при помощи геометрической алгебры очень красиво и изящно описывался. Был просто натуральный шок, зачем и нафига еще год назад с меня сошло столько пота, накой черт я учил такой зубодробительный матан, если новое и перспективное направление в науке уже гораздо лучше описывается гораздо более понятными и изящным мат аппаратом, который никто и не проходит, кроме тех кто потом его персонально на кафедрах изучает. А весь курс пропускают словно через мясорубку этого лютого матана, роторов, тензоров и прочих ужасов математической физики.

Кому: Марков Алексей, #1

Да, на заборах, как правило, пишется много глупостей :)

Кому: Urbat, #4

Да что тут запомитать-то - это же очевидное слествие известного векторного тожества
[a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b), обобщаемого с обычных векторов на векторные операторы ифференцированрия....

Кому: Sable, #6

Правиьно, но не только ля этого....

Кому: Landadan, #8

Ну что Вы привязались к этой не слишком удачной выдумке Стругацких? У них имеется масса куда боле глубоких высказываний, достойных цитирования... Например (текст не совсем точен, но смысл верен):
-- А интересное это было бы зреище: наше Управение - ви со стороны... Ладно, я об этом потом поумаю...
--- Разрушить старый мир и на его обломках построить новый --- это идея очень старая, и, как правило, всем удавалась ишь первая часть пообной программы....

Кому: quintic, #9

По сути вы в чем-то правы, но имеется один важный нюанс: имена и учебники Фихтенгольца, Ильина-Позняка и Смирнова знают тысячи, а точнее миллионы физиков, математиков и инженеров. При этом я практически уверен, что эти авторы никогда не называли макулатурой другие учебники...
А вот кличку quintic не знает практически никто и, если честно, особенно и знать не хочет. И я думаю, что вероятность того, что последний из указанных персонажей хоть сколько-нибудь приблизится по заслугам и популярности к авторам названных макулатурой учебников --- весьма и весьма мала.
Вот такая ситуация, получается с вами, серостью и недовоспитанностью около математической...

Кому: kalich4eva, #10

Ну, я думаю Вы всех просто заинтриговали мощью геометрической алгебры и алгебры Клиффорда и произошедшим в вас "просто разрывом шаблона". Может быть Вы покажете восхищенной ауитории, как этот матаппарат работает на каком-нибудь простом примере... Ну, например, вычислении поля Е внутри бесконечного однородного цилиндра радиусом R, помещенного в однородное электростатическое поле Ео так, что его ось (для простоты) перпендикулярна линиям поля... Ну... пусть цилиндр состоит из молекул с известной поляризуемостью (для простоты - скалярной, а не тензорной), концентрация уоторых тоже известна....
А еще бы посчитать силу взаимодействия полярной молекулы с известным дипольным моментом do, находящейся ан заданной высоте h над плоской границей полупространства, щаполненного однородным (для простоты) диэлектриком с известной диэлектрической проницаемостью.
Очаруйте нас возможностями поразившего вас матаппарата. Заодно и поймем, правильно и Вас отправили в академический отпуск, а потом - вернули из оного.
Уж не поленитесь, пожалуйста. Задачки-то ведь правда ПУСТЯКОВЫЕ - так, для наглядного примера к подражанию....

Кому: kalich4eva, #10

Я переход от анализа к алгебрам Клиффорда не очень уловил. Я когда писал, про проблемы изложения анализа для неспециалистов имел ввиду, что если все заменить вычислениями в координатах и манипуляциями с символами, то математическая природа объектов многомерного анализа исчезает как вода в решете. Например, что такое производная многомерного отображения? Это 1-форма со значениями в прообразе касательного расслоения. Обычный ответ из курса анализа. Физики подменяют его тем, что можно выбрать координаты и посчитать в координатах матрицу Якоби, но матрица это способ организации символов, а не математический объект. Легко представить, что если на уровне определения производной наши пути с физиками разошлись, то дальше только хуже. При этом математики в принципе могут понимать физические вычисления, просто они не обладают эстетической привлекательностью, а вот наоборот практически никогда не работает — большинство физиков не понимают анализа на многообразиях.

Анализ этот не такой уж новый, думаю к 60м годам прошлого века там все устоялось уже, но массовые симпатии на стороне учебников написанных в стиле 19го века.

Кому: alex_chirtsov, #15

Скрываться за кличкой в подобных разговорах это моя принципиальная позиция, я не хочу, чтобы вес мною написанного накачивался моими учеными степенями и позициями, меня интересуют только аргументы.

Примитивные и поверхностные тексты всегда популярнее сложных и глубоких, учебники не исключение. Первые читают миллионы и их авторы широко известны, вторые не могут этим похвастаться.

Для того чтобы читать Фихтенгольца или Смирнова не требуется много времени или усилий, но и понимание после такого чтива поверхностное. С другой стороны чтобы читать учебник для математиков, например двухтомник Лорана Шварца времени и усилий требуется на порядок больше, но это дает содержательное понимание анализа.

Что касается достижений авторов макулатуры, то у меня возникают вопросы. Какие, например, математические достижения у Фихтенгольца? На вскидку не могу вспомнить ни одной теоремы Фихтенгольца. С Лораном Шварцом таких проблем не возникает, у него медаль Филдса за очень серьезные аналитические результаты. Достижения авторов и популярность учебников между собой не связаны.

Кому: quintic, #9

  Главное зло здесь не в том, что дивергенцию и ротор можно описать красивее, чем в математике образца середины XIX-го века, а в том, что ротор — вообще вредная вещь. Процедура получения ротора, как бы красиво она ни была описана, в принципе хирально-зависима, т. е., например, из векторного поля в 3-х-мерном пространстве получается псевдовекторное. А избавиться от этой неприятности можно, заменив ротор на градиент, который и проще, и хирально-независим, и получается из ротора (а ротор — из него) скалярным произведением с соответствующей стороны с базовым элементом объёма. Грубо говоря, и градиент, и ротор состоят из одних и тех же (с точностью до фиксированного множителя) коэффициентов, расставленных в разном порядке. Но что делать, если, например, градиент векторного поля — поле бивекторное, а что такое «бивектор» — физики не знают? Вот и приходится им заменять бивектор его хиральным ортом, который в двумерном пространстве — псевдоскаляр, а в трёхмерном — псевдовектор. А в 4-х-мерном — псевдобивектор, так что тут у физиков опять ой. Два раза контравариантный антисимметрический псевдотензор.
  Конечно, всё это наследство математики тех времён, когда ни тензоров вообще, ни мультивекторов в частности (термин «поливектор» не все любят, он как бэ намекает на сопряжённость полилинейным формам, а это не вполне так) в ней не было, рассмотрения ограничивались пространством не более 3-х измерений, и, поэтому, всегда была возможность заменить мультивектор нормальным к нему псевдовектором или псевдоскаляром, который, хоть и непонятен, но как-то привычен. С тех пор в математике и сохранились всяки бяки вроде «векторного произведения», «смешанного произведения», «бинормали», «ротора» и тому подобное непотребство. А физики всё это честно учат.
  Хотя, не всё так плохо: вот, например, «тензор электромагнитного поля» — вполне себе честный градиент векторного потенциала (ладно-ладно, удвоенный да ковариантный, да полученный вручную, а не систематической конструкцией, но не будем придираться — физики же), а что «тензор» а не «бивектор», так слов они таких не знают...
  Определённые надежды появились в середине 90-х, когда всвязи с развитием теории суперструн в рассмотрение, кроме собственно струн (одномерных объектов), были введены объекты более высоких размерностей, для работы с которыми стали использоваться мультивекторы. Так что теперь многие физики уже хотя бы слышали такие слова, как «бивектор», «тривектор», и можно надеяться, что лёд потихоньку тронулся. Очень уж, правда, потихоньку...
  Хочется верить, что не пройдёт ещё и нескольких десятков лет... ну, ладно, сотня..., и в физике не останется ни псевдотензоров, ни кривых конструкций, их порождающих, и студенты будут проходить всякие «роторы» лишь в курсе истории науки, как примеры много крови выпивших неудачных решений. И будут смеяться над глупыми предками, вот, дескать, дураки какие были, уж мы-то на их месте сразу бы сделали всё как надо! Эх, хорошо станет! Вот только жить в эту пору прекрасную не доведётся ни мне, ни тебе...
  И ещё: не надо ругать знаменитые старые учебники: они — выдающиеся работы в своей области, а что частично нуждаются в обновлении, не делает их «макулатурой». Даже, если какой ни будь из них нужно пересматривать вообще целиком, всё равно это шедевр и памятник, а не «макулатура», хоть учиться уже может быть лучше по другому.

Кому: Жад, #19

Я примерно это же тут писал раньше.

Я только не понял, почему поливектора не двойственны формам? Что ты имеешь ввиду? Вроде как Hom из i-той внешней степени касательного расслоения в кольцо функций изоморфен i-ой внешней степени кокасательного и наоборот, нет?

Электромагнитное поле F на пространстве-времени это таки 2-форма, а не бивектор F=dA, где A это потенциал (1-форма).

Кому: quintic, #18

Анонимов людьми не считаю, а принуипиальных анонимов - не считаю людьми принципиально. Все, принципиальный аноним, вы отнесены в категорию недостойных моего внимания...

Кому: Жад, #1
Господа, да о чем вы пишите? ВЫ конкретную-то задачку решите и покажите своим решением, чем удобнее новая система определений. Если получится короче и проще - слава поливекторам или мультивекторам - мне совершенно наплевать, какой последовательностью букв обозначается очередное обобщение. Вы задачки-то решите и напишите ответики (желательно правильные). А там - посмотрим.
или задачек ен анйти? -Ладно, повторюсь:
---------------------------------------
Ну, я думаю Вы всех просто заинтриговали мощью геометрической алгебры и алгебры Клиффорда и произошедшим в вас "просто разрывом шаблона". Может быть Вы покажете восхищенной ауитории, как этот матаппарат работает на каком-нибудь простом примере... Ну, например, вычислении поля Е внутри бесконечного однородного цилиндра радиусом R, помещенного в однородное электростатическое поле Ео так, что его ось (для простоты) перпендикулярна линиям поля... Ну... пусть цилиндр состоит из молекул с известной поляризуемостью (для простоты - скалярной, а не тензорной), концентрация уоторых тоже известна....
А еще бы посчитать силу взаимодействия полярной молекулы с известным дипольным моментом do, находящейся ан заданной высоте h над плоской границей полупространства, щаполненного однородным (для простоты) диэлектриком с известной диэлектрической проницаемостью.
Очаруйте нас возможностями поразившего вас матаппарата. Заодно и поймем, правильно и Вас отправили в академический отпуск, а потом - вернули из оного.
Уж не поленитесь, пожалуйста. Задачки-то ведь правда ПУСТЯКОВЫЕ - так, для наглядного примера к подражанию....
----------------------------------------
С нетерпением жду элегантнейших решений....

Кому: quintic, #20

> почему поливектора не двойственны формам

  Из-за антисимметричности. Под «поливектором» имеется в виду насквозь антисимметрический сплошь контравариантный тензор. А под полилинейной формой — сплошь ковариантный, без каких-либо условий на симметрию. Поэтому у любого поливектора (мы, разумеется, о конечномерных пространствах сейчас говорим) будет сопряжённая ему (при наличии псевдоевклидовости) полилинейная форма, а обратное неверно. Чтобы у полилинейной формы был сопряжённый ей поливектор, такая форма сама должна быть антисимметрической. Почему я, собственно, и против термина «поливектор» — к заблуждению ведёт он.

> Электромагнитное поле F на пространстве-времени это таки 2-форма, а не бивектор F=dA, где A это потенциал (1-форма).

  Вопрос эстетический (мы же здесь физиков ругаем, а не всем их придумкам следуем). Мне, например, контравариантные потенциал и эм-тензор больше нравятся. Красивше как-то.
  Поясню: физики довольно непринуждённо «перекидывают» индексы вверх-вниз метрическим тензором, так что, как внизу им хорошо, так и вверху не хуже: критерий — простота конструкции и экономия инструментов.
  Простота конструкции: разница только в местах использования метрического тензора, совсем от него избавиться всё равно нельзя. Если индексы внизу, то переход от потенциала к эм-тензору получается безметрическим, но зато метрический тензор становится нужен для связи между эм-тензором и 4-током (порождения эм-тензора 4-током). Что же до действия эм-тензора на 4-ток, то там метрический тензор неустраним. Что в лоб, в общем, что по лбу.
  Экономия инструментов: для всех манипуляций с индексами вверху существует традиционный аппарат, а, если индексы внизу, то нужно определять своего рода «ковариантное отражение» традиционного аппарата. Сделать это можно, но зачем? Да и терминология, «векторный потенциал», например, как бэ намекает…

  И ещё: Фихтенгольц, может быть, никаких значимых теорем и не доказал, но собственно научная и педагогическая деятельность — разные вещи. Какие знаменитые учебники, прославленные в веках, написали великие Гаусс или Гильберт? А теорию относительности мы учим по учебнику, написанному Эйнштейном? С другой стороны, двухтомник ничего не доказавшего Фихтенгольца — шедевр, пусть и устаревший. Как меч, выкованный великим мастером — сейчас им воевать глупо, но называть его металлоломом — как-то нехорошо, хотя понятно и раздражение от того, что этим мечом до сих пор пытаются махать.

Кому: Жад, #23

Про поливектора понятно. У меня что поливектора, что формы в этом контексте антисимметричные — сечения внешних степеней. Тогда скорее термин форма не однозначен, для меня в отсутствии дополнительного прилагательного (симметрическая, полилинейная итд) форма это антисимметричная форма.

Про ЭМ поле как бивектор понятно, я никогда так не пробовал делать. Мысль весьма занятная по следующей причине: если ЭМ поле это 2-форма на пространстве-времени, то при сужении на 3х мерное пространство получается Е это 1-форма, а B это 2-форма. При таком математическом описании не имеет смысла говорить про линии напряженности скажем поля Е, потому что если E было бы векторным полем, то у него были бы интегральные кривые они же линии напряженности, а для формы такого нет. С бивектором таких проблем не будет, но зато будут проблемы всякий раз когда появляется интегрирование: интегрировать можно формы, а не векторные поля, значит каждый раз в интеграле будет фигурировать музыкальный изоморфизм (делающий из векторов формы посредством метрики).

Для меня эта ясность всех вычислений с интегралами всегда была мотивацией для того чтобы считать именно формы наиболее подходящим языком для описания ЭМ полей, а получающиеся из них (поли)вектора вторичными.

Я никогда Фихтенгольца не читал, я его полистал на первом курсе и понял, что это чудовищно нудная унылая дрянь. С моей точки зрения он плох не потому что устарел, а потому что такова его онтологическая природа — быть поверхностной компиляцией наиболее расхожих аналитических мемов, разжеванной в два ведра педагогической каши. Я предпочитаю сочинения математиков, которые могут поделиться своим видением интимных деталей предмета, а не дегенеративные изложения отточенные практикой преподавания равнодушным студентам.

Если говорить, про математические учебники которые красиво состарились, то таких много, например курс анализа Уотсона или курс алгебры Ван ден Берга, обсуждаемая книга не из их числа.

Кому: Жад, #23

Ну что же, как бы уважаемый как бы математик по кличке ЖАД, мило беседующий с трусливым коллегой-анонимом по кличке quintic, не рискующем назвать свою настоящую фамилию недоучем и называющем всемирно-известные учебники "макулатурой" (цитата). Как и ожидалось, простенькие задачки для студентов второго курса вы решить на способны (а скорее всего и не пытались, внутренне осознавая свою импотенцию в этом). Довожу до вашего сведения, что физики осведомлены и о столь милых вашему спинному мозгу и бивекторах, и поливекторах. Но, кроме этого, они, увы, знакомы с еще одним явлением природы, экспериментально наблюдаемом в подмножествах околоматематиков. Это явления носит название "околоматемтатический (заметьте - не математический, а околоматематический) бикретинизм". Это заболевание легко перевастает в следующую форму - околоматематического полидебилизма, которая весьма заразна. Характерные признаки обоих стадий заболеваний околоматематиков:
1) называние трудов своих коллег-математиков "макулатурой", "помойкой" и т.д.,
2) неспособнрость к решению элементарных задач,
3) природная трусость,
4) анонимизм (от слова "аноним").
Именно из-за распространенности указанного заболевания в около математических кругах, большинство серьезных физических факультетов читают математические курсы своими силами, не приглашая математиков. Это делается из-за того, что выбраковывать из рядов настоящих ученых особей, пораженных недугом под названием "околоматематический би- и поли- кретинизм – дебилизм" процедура более трудоемкая, чем чтение курса математики собственными силами.
Если вы считаете себя хотя бы подобием мужчин - откройте свои имена и сообщите математическому сообществу ваш "диагноз" по поводу макулатуры, к которой вы отнесли лучшие учебники элементарной и не элементарной математики Будет забавно посмотреть, что из вас сделают. Но ведь не откроете, поскольку би- и поли- околоматематики очень боятся выдворения из рядов настоящих ученых.

Кому: quintic, #9

Фихтенгольц - макулатура? Без фундаментальных понятий типа предела или точной верхней грани никакие заумные теории не построить. Даже производную без предела не определить по-человечески.

Измерять качество учебника по научным регалиям автора - это уровень детского сада. Хороший учёный далеко не всегда является хорошим преподавателем. Наоборот то же самое.

Кому: grekhss, #26

Вы абсолютно правы, уважаемый grekhss. Только то, о чем пытался говорить приемщик макулатуры не является слишком заумной. Лично мне "кососимметричные формы" (или антисимметричные -не слишком важно, как это называть) - рассказывали на первом курсе. Все это известно давным-давно и кое-где в физике работает. Но не так, чтобы уж слишком помогало. Когда это реально понадобится (если дойдем до такой физики)- расскажу. Но пока идут электростатика и магнитостатика -- это мало кому мало чем помогает....