Алексей Савватеев про эйлеров цикл и задачку для третьего класса

По задачке разнице дней, для дат в разных столетиях еще необходимо учитывать, что года кратные 100 не високосные, а 400 високосные (старый и новый стили как раз отсюда)

Вроде бы, перебором задача про орехи решается быстрее, чем указанным способом.

Очевидно, что сумма орехов равна (1024*X+525)/81, и это целое число.

Если вручную перебирать все Х от 1, то действительно может уйти полдня. Но мы немножко подумали и подставляем 12, 24, 36... при x = 60 получаем правильный ответ. Даже в столбик на бумажке на это достаточно 10 минут. А так как детям на олимпиадах разрешены калькуляторы, то на подбор уходят буквально секунды.

Не оторваться! =)

Про графы это классика, вроде и просто, но в тоже время элегантно. Про гамильтоновы циклы - тоже верно. Как вариант, это выход на P=NP задачу.

Товарищи, хочу поделиться ссылкой по смежной с математикой области:
https://meduza.io/feature/2019/04/10/astrofiziki-vpervye-pokazali-izobrazhenie-chernoy-dyry?utm_sour...

Учёные впервые сфотографировали чёрную дыру.

А я 28 лет угадал сразу :)
Для любой выбранной даты вероятность високосного года - 1/4,вероянтность нужного дня недели - 1/7. В среднем нужное сочетание будет повторяться раз в 4x7=28 лет.

Савватееву вопрос.

Задачка.
Вот фирма, которая делала сбрую для лошадей, решила запускать спутники.
Сделала она много одинаковых ракет, одну поставила на старт и запустила.
И всем на удивление тестовый груз оказался на заданной орбите.
Тут же появились заказчики со спутниками.
Но спутники надо страховать.
Что думает страховая компания про вероятность успешности второго запуска?

В классичесой обёртке:
Есть мешок с чёрными и белыми шарами.
В совершенно неизвестном соотношении.
Суём руку, вынимаем белый шар.
Какова вероятность, что второй шар тоже будет белым?

Однажды у меня получилось, что 5/6... но не помню как!!! :D

Кому: Xan, #7

> В классичесой обёртке:
> Есть мешок с чёрными и белыми шарами.
> В совершенно неизвестном соотношении.
> Суём руку, вынимаем белый шар.
> Какова вероятность, что второй шар тоже будет белым?
>
> Однажды у меня получилось, что 5/6... но не помню как!!! :D

5/6 точно не ответ, так как если изначально в мешке был только один белый и один черный шар, то вероятность будет другая. Это контрпример.

Кому: kenjunito, #8

> 5/6 точно не ответ, так как если изначально в мешке был только один белый и один черный шар, то вероятность будет другая. Это контрпример.

Насколько я понимаю, это не совсем контр пример. Если не ошибаюсь, тут нужна вероятность, усреднённая по любому количеству и цвету шаров. Один белый, один чёрный - просто один из множества раскладов, по которым надо усреднять.

Кому: Corsa, #9

Тогда нужно про метрику договариваться. В частности, что мы имеем виду под фразой "Есть мешок с чёрными и белыми шарами."
- с равной вероятностью там от 0 до n черных шаров
- каждый шар с вероятностью 1/2 черный
Это разные варианты, ибо в первом случае будет вероятность всех черных 1/n, во втором - 2^(-n).
Потом нам нужно будет взять искомую вероятность p_n -вероятность вытащить шар, если всего их ровно n, договорится как-то о том, как меняется вероятность того или иного количества шаров. Пусть равномерно.
Тогда будет lim_{n\to\infty}((p_1+..+p_n)/n)

Кому: Nikolai, #5

> Учёные впервые сфотографировали чёрную дыру.

И это были сцуко не наши ученые!((

Кому: kenjunito, #10

С твоими вычислениям согласен, камрад. Но сдаётся мне, что задачка была к теме теории игр из прошлых лекций Алексея, и уточнить метрику у нас принципиально не получится. Не имея достаточных данных для точного решения, надо найти оптимальную стратегию поведения (оценить стоимость страховку).

Насколько я понял задачу с ракетами-шарами, вся доступная информация:
- шаров "много"
- как минимум один из них белый.
Других данных нет, а страховой компании оценить вероятность следующего шара как-то надо.

Думаю, логика может быть следующая (цифры взяты наобум для примера!). Если бы мы вытащили 100 шаров, зная их цвет, мы б знали вероятность с точностью 95%; если бы вытащили 10 шаров знали бы вероятность с точностью 70%; и так далее. Чем меньше количество шаров, тем грубее оценка вероятности. В итоге при стремлении количества вытащенных шаров к 1, зная его цвет, мы по идее можем как-то оценить вероятность следующего шара в 5/6 :)

Может Алексей подскажет, или Xan вспомнит :)

Задача имеет более простое решение:
Пусть орехов было x, тогда имеет место:
1) (x-1)*3/4 - осталось после итерации папы
2) ((x-1)*3/4 - 1)*3/4 - после итерации сына
3) (((x-1)*3/4 - 1)*3/4 - 1) * 3/4 - после итерации дочери
4) (((x-1)*3/4 - 1)*3/4 - 1) * 3/4 / 4 - после последней итерации мамы. Это досталось каждому
Допустим это число равно y, тогда получаем:
(((x-1)*3/4 - 1)*3/4 - 1) * 3/4 / 4 = ((3/4*x -7/4)*3/4-1)*3/16 = (9/16*x - 21/16 - 1)*3/16=
27/256 * x- 37*3/256 = y
Или
x = (y + 37*3/256)*256/27 = (256*y+37*3)/27= (256*y+3 + 36 *3)/27 = (256*y+3)/27 + 4

Обозначим z = x -4:
z = (256*y +3)/27
Очевидно что y должно делиться на 3, т.к. все числа являются натуральными
q = 3*y
z = (256*q + 1)/9
256 mod 9 = 4
ДЛя того чтобы уравнение было в натуральных числах, нужно чтобы остаток был 8, т.е. минимально q=2
z = (256*2+1)/9 = 57
x = z+4 = 57+4= 61

Чиста на пальцах:
Предположим, у нас есть 101 мешок и на каждом подписана концентрация в нём белых шаров.
В первом 0, во втором 1 процент, в третьем 2, в сотом 99, в сто первом 100.
Из каждого сто раз пытаемся вытащить белый шар.
И если белый, то тащим второй.
Понятно, что в среднем по мешкам белые будут в 50 процентах случаев.
Потому что интеграл от нуля до единицы по p*dp = 1/2.
А вот случаев вытаскивания второго белого будет вовсе не 25 процентов, а больше.
Потому что интеграл от нуля до единицы по p^2*dp = 1/3.
Так что вероятность второго белого шара получается 2/3.
Но.
Такого равномерного распределения шаров по мешкам в реальности не будет.
В реальности, скорее всего, будет много мешков "совсем чёрных", немного "серых" и опять много "совсем белых".
Если исключить "серые", то вероятность вслед за белым шаром вытащить ещё один белый будет равна 1.
Но это тоже не реальность, "серые" должны быть.

Вот и вскакивает вопрос: а как же в реальности вероятность распределена?
С каким-то распределением у меня получилось 5/6. Но не помню с каким и не помню из каких оно соображений.
Но "нутром чую", что это чистая математика.

Кому: Xan, #14

> В реальности, скорее всего, будет много мешков "совсем чёрных", немного "серых" и опять много "совсем белых".

Это не понял:( Почему так будет в реальности?

Вон Илон свят Маск свой белый шар только с четвёртого раза вытащил, а поди ж ты...

Кому: Corsa, #15

> Это не понял:( Почему так будет в реальности?

Ну, "мне так кажется"! :)
Практически все ракетные проекты начинались с "чёрного".
"Электрон" чуть не стал исключением, но оператор не дал, пристрелив на взлёте!!!
С другой стороны, многие мелкие проекты бывают сразу и надёжно успешными -- "белые".

Вот спортсмен по прыжкам в высоту.
Полметра -- перепрыгивает.
Метр -- перепрыгивает.
Полтора -- тоже.
На 1.9 -- иногда не перепрыгивает.
На 2 м -- только в половине случаев.
На 2.1 м -- очень редко.
На 4 м -- никогда.

Поэтому я и считаю, что "серых" мало.
Но вот сколько именно "мало" -- не соображу.