17.08.18

01:57:12 | 97494 просмотра | текст | аудиоверсия | скачать

Сергей Ивановский. Всем добрый вечер. В студии Александр Сергеевич.

А.С. Чирцов. Добрый вечер.

Сергей Ивановский. Десять часов вечера и мы готовы начать. У нас сегодня по плану закон сохранения.

А.С. Чирцов. Я должен сразу предупредить уважаемую аудиторию. Уже один раз появилось замечание в обсуждении... Я сейчас говорю об обсуждении лекции, которая была до той, которая была последней. Как раз то, что “Законы Ньютона”, а после нее была лекция про взаимодействия. Так вот. Обсуждения, которые появились на “Законах Ньютона”. Там появилось утверждение: “Какой-то школьный курс”. Но с другой стороны и противоположное: “Я ничего не могу понять”.

Сергей Ивановский. Я помню, там были комментарии: “Я ничего не понял, но было круто”.

А.С. Чирцов. И такое было. Я всего не просмотрел, наверное, и вы не просмотрели. Сейчас нам тоже придется говорить о вещах, в общем-то, школьных. Но, если мы хотим когда-то дойти до релятивистской физики, до квантовой механики, там не на что будет опереться, кроме как на эти вещи. Надо, чтобы мы эти вещи понимали, более-менее, одинаково. Об этом я хотел немножечко сказать. Во-первых, я бы призвал слушателей обсуждать то, что говорилось, а не те мысли, которые были навеяны этими разговорами. Мы там придумывали модель про искривленное двумерное пространство. Один из слушателей сказал: “А, ну, понятно. Он вам втюхает это, а потом быстро подменит и скажет, что мы живем в искривленном четырехмерном пространстве”. Я этого не говорил. Это кому-то показалось. Я честно вам скажу, что не считаю, что мы живем в четырехмерном пространстве. Просто на каком-то этапе появятся некоторые математические формулы, которые прекрасно позволяют производить расчеты. Эти формулы достаточно трудны для запоминания. Но если кто-то сможет обобщить некоторые идеи двумерного искривленного пространства на искривленное пространство более высокой размерности, и ему хватит фантазии, чтобы представить себе такое пространство, то эти формулы будут для него более элегантны. Можно не представлять себе четырехмерного пространства, а просто работать в этих формулах. Все будет получаться. Но если хочется их элегантно запомнить, то для некоторых так будет легче.

В этом смысле мы часто говорим, что мы живем в четырехмерном искривленном пространстве. Это очень хитрая картинка, которая позволяет проще принять и запомнить очень не короткие уравнения. Если продлить те же самые разговоры, там масса фантазий про космологию. Что это двумерная сфера, так космос устроен... Я этого не говорил. Я говорил: “Представьте себе, что это так”. Здесь было еще одно гневное замечание: “Одно на другое в космологии нанизывается. Гипотеза на гипотезу. И вы хотите сказать, что это наука?” Друзья мои, слушайте внимательно, что я говорю. Я ни разу не сказал, что космология, это наука. Но я и не сказал, что космология это не наука. И еще. Я еще забыл по поводу кривой сферы. Мне в голову пришла это задачка. Ну, и мы стали ее обсуждать. Это обсуждение действительно полезно. Давайте представим себя жителями двумерной сферы, двумерными блохами. И давайте подумаем, как в этом мире мы, двумерные блохи, построим там геометрию. Я понимаю, как построить их геометрию, глядя на это со стороны. А вот представим себе, что мы не можем глянуть на это со стороны. А у нас есть эталон длины... Короче, все, что у нас было в обычной физике. В таком пространстве, которое нам не видно, что кривое. И как тогда построить понятие вектора? Пока ни математики, ни физики далеко не продвинулись. Я уверен, что эта задача давным-давно решена. Но сама по себе такая игра ума мне кажется довольно забавной.

Что еще мне понравилось. Тут возникла очень такая яркая дискуссия. Кто-то спросил: “А как это получается, что если мы возьмем ускорение, построим графики, посчитаем площадь под этими графиками и получится скорость? Ведь скорость и ускорение, это нечто реальное, а тут какие-то графики, какие-то площади. Как это получилось?” Мое мнение на этот счет, что скорости и ускорению привносятся черты большей реальности, чем они есть на самом деле. Я бы сказал, что мы выдумали скорость и ускорение для удобства описания того, что мы видим. И выдумали их так, что по площади под графиком у одного, мы можем найти другое. Все думают, что скорость, это когда мы на мотоцикле едем. Это не только такая скорость. Скорость может быть чего угодно. Может быть скорость изменения ваших доходов. Это же тоже скорость. Если вы построите график скорости ваших доходов, то площадь под этим графиком даст вам изменения. Точно так же, как площадь под графиком скорости автомобиля дает насколько он переместился за какое-то время. В этом и сила математики, что мы придумываем хитрое абстрактное математическое понятие, соображаем, как между такими понятиями устроена связь. Потом под этим понятием можно подразумевать все, что угодно.

Мы говорили про нормальные скорости, но на самом деле все не так. Мы выдумали материальную точку. Мы же сказали, что нет на самом деле материальных точек. Потом к материальной точке мы провели радиус-вектор. Мы выдумали радиус-вектор. В природе нет никаких стрелок, проведенных от начала координат куда-то там. А потом мы ввели скорость изменения этого радиус-вектора. Какая же тут реальность? Это чистая математическая модель. Мы реальный мир всегда упрощаем до того, чтобы можно было пользоваться математикой. При этом упрощать его до такой степени, чтобы он стал достаточно прост, чтобы легко было пользоваться математикой, но чтобы при этом не потерять то, что нам нужно. Это самая тонкая вещь в физике и в любой науке. Построить хорошую математическую модель. Любая модель – это выдумка. Но она выдумана так, что отражает некоторые черты реальности. Это надо понимать.

Сергей Ивановский. Еще один комментарий, который там был, это что мы говорим о вещах не совсем связанных с наукой. Абстракции придумываем и тому подобное. Хочется сказать, что именно эти абстракции вызывают вопросы. Когда человек задумывается о том, как их решить, метод, которым он пользуется как раз научный. Выдумываются всевозможные материальные точки, радиус-векторы, ищется каким образом связать скорость и ускорение. Площадь под кривой. А площадь под кривой как можно интерпретировать? С помощью интеграла. Это метод познания мира.

А.С. Чирцов. Мы сейчас договариваемся о языке, на котором потом будем говорить. Пока мы занимаемся тем, что называется классическая механика. Вообще классическая механика, это скорее раздел математики, а не физики. Есть математико-механический факультет и есть физический. Мы пока скорее находимся в математике. Пока были сформулированы только три закона природы. Это законы Ньютона. Потом мы сформулируем четвертый закон, закон Всемирного тяготения. И все. Остальное, это жонглирование этими законами. Потом, дальше, новые законы посыплются как из рога изобилия. Но это будет потом. Пока нам нужно договориться о некоторых словах, о некотором базисе, чтобы мы понимали, что это такое. Если человек, что прислонившись спиной к сосне, он получит какое-то улучшение, я вполне допускаю, что это ему поможет. Поскольку человек, это сложнейшая самоорганизующаяся система. То, как мы смотрим на мир, наш мозг, во многом определяет процессы физиологические, которые идут в нас. Помните, как перед телевизором заряжали воду, и она обладала целебными свойствами? Я вполне допускаю, что тем, кто в это верит, оно немножко помогало. Если вам долго говорить, что у вас зуб не болит, если он болит, то в какой-то момент он будет болеть меньше. Просто мы сложная система.

Сергей Ивановский. Ну, что? Приступим дальше?

А.С. Чирцов. Теперь надо задачки обсудить. Я буду из экономии времени говорить не обо всем решении, а об идеях. Арифметику буду перескакивать потому, что понятно, что арифметика начнет сейчас расти. Первая. Там автомобиль ехал. И в дороге такая прямоугольная яма. Все удары абсолютно упругие, надо было найти скорость, при которой он попадет на эту сторону в точку “А”. Надо было найти все скорости. На первый взгляд задача кажется очень сложной потому, что можно прыгать по-разному. Но если мы вспомним уравнение для равноускоренного движения... У нас было, что “R“ от “t“... А там было три компоненты. Движение по горизонтали, по вертикали и так движение. Если вы посмотрите не те уравнения, оказывается, что эти уравнения друг с другом никак не связаны. Уравнения движения по горизонтали никак не входили в положение по вертикали. А это значит, что в атакой задаче можно воспользоваться принципом независимости движений. То есть, можно сложное движение нашего тела рассмотреть отдельно по горизонтали и по вертикали. Он как ехал со скоростью “V“ с ноликом, так и полетел. Поэтому первый раз он долетит до этой стенки через время “t1“, равное расстоянию, деленному на скорость. Если ему повезет, и в этот момент, оказавшись здесь, он окажется на высоте продолжения дороги, он выскакивает и едет дальше. Если ему не повезет, он отскакивает от стенки и летит обратно. Мы говорим только о горизонтальном движении. Он, конечно, может выскочить. Но, если он не выскочит, он отразится обратно и снова у него будет шанс выскочить. Второй шанс выскочить будет в момент... Он должен пролететь раз, два, три. Три “L“ на “V“ с ноликом. Если он снова не выскочит, он полетит туда, сюда. Уже пять раз пробежит. Поэтому “t3“ будет пять “L“ на “V“ с ноликом. Теперь давайте попробуем записать это в общем виде. Помните, как в школе нас учили записывать нечетные числа? Это “2К“ без единички. Поэтому “t“ “катая”... “Катый” раз он будет около этой стенки. Через время “2К“ без единички, делить на “V“ с ноликом, на “L“.

Теперь забудем про движение по горизонтали. Будем смотреть только на высоту. Он начинает падать с этой высоты вниз равноускоренно. Наверное, мы помним из школьного курса, что если движение равноускоренное, равнялось нулю, у него же была только горизонтальная скорость, то высота, на которую он упал за время “t“, равняется “g“ на “T“ в квадрате пополам. Тогда, если высота “h“, то он первый раз упадет на пол через время “T“, равное “2h“ делить на “g“, да еще корень из всего этого. Это он сюда долетит. Вверх он будет взлетать столько же времени. Это не очевидный факт, что тело падает вниз столько же, сколько летит вверх. Более того, если есть воздух, это вообще не так. А если у нас вакуум, то это так. Это требует доказательства, но это совсем просто, это в школе проходят. Поэтому первый раз он окажется на нужной высоте через время “тау”1, равное времени движения вниз и вверх. То есть, два таких корня. Если он в это время окажется у этой стенки, он выскочил. Если не окажется, он снова полетит вниз. И второй раз он окажется на этой высоте в момент времени “тау”2... Один раз слетел – два корня. Второй раз – еще два корня. Четыре корня. Тогда “энный” раз он окажется на нужной высоте через время “2n“ на корень из “2h“, на “g“. В эти моменты времени он находится у правой стенки. В эти моменты времени он находится на нужной высоте, чтобы он мог выскочить. Он выскочит в том случае, если какое-нибудь из этих времен совпадет с каким-нибудь из этих. Не обязательно он должен одинаковое число раз сюда пролететь и прыгнуть вверх-вниз. Поэтому “n“ и “K“ могут быть любыми числами. Нам осталось приравнять и написать, что “2К“ без единицы, делить на “V“ с ноликом, умножить на “L“, должно равняться “2n“ корней из “2h“, на “g“. Отсюда осталось найти “V“ с ноликом. Это уравнение легко решается. Получится, что “V“ с ноликом равняется “2К“ без единицы делить на “2n“, “L“. А здесь будет корень из “g“ делить на “2h“. Это ответ.

Теперь самое интересное, как озвучить этот ответ. Ответ у этой задачи устроен следующим образом. Сосчитайте такую величину. Длина ямы, умножить на корень из ускорения свободного падения, деленное на “2h“. И эту величину умножьте на отношение любого нечетного числа к любому четному числу. Это будет решение. У нас получилась дважды бесконечная последовательность решений. У нас “К” может быть 1, 2, 3, 4... И “n” может быть 1,2,3,4... Такой забавный пример. Это все верно, если у нас автомобиль точечный. Но оказывается можно придумать задачу, которая чем-то близка к реальности, у которой решение не одно, не бесконечно много, а дважды бесконечно много. Я эту задачу придумал давно, для поступающих на физический факультет. Со временем привыкли все как эту задачу решать. Пока были вступительные экзамены, на нее столько новых идей навешивалось.

Еще задачка с Винни-Пухом. Помните? Висел на шарике Винни-Пух. Находился на высоте “h“. тут на расстоянии “L“ находился Пятачок. Когда он стреляет, Винни-Пух отпускает шарик и начинает падать вниз. На самом деле в этой задаче есть физическое противоречие. Для того, чтобы он падал вниз равноускоренно, надо, чтобы не было атмосферы. Но, чтобы висеть на шарике, надо, чтобы атмосфера была. На самом деле это означает, что шарик достаточно большой, чтобы поддерживать Винни-Пуха даже в разряженной атмосфере. А Винни-Пух достаточно тяжелый, чтобы в момент его падения можно было пренебречь трением об атмосферу. Конечно можно решать точно эту задачу. Это мы снова заменили реальную ситуацию сильно упрощенной. Кстати, эту задачу можно было решить очень просто. Можно было ввести систему координат. Здесь “X“, здесь “Y“. Написать в любой момент времени координаты падающего Винни-Пуха. Написать в любой момент времени координаты падающего ядра. Оно летит по параболе, и тут они где-то встретятся. Потребовать, чтобы в один и тот же момент времени “X“-координата Винни-Пуха совпала с “X“-координатой ядра, а “Y“ с “Y“. Получится система уравнений. Система уравнений решается и получается ответ. Это чисто математический способ решения. Помните, я говорил, что математика, это мясорубка, ее покрутил, ни о чем не думая, и получил ответ. Так можно сделать. Но тогда бы мне пришлось все стереть и кучу формул писать.

А можно придумать, так называемое, красивое решение. Это решение необычно, но в нем есть хорошая идея. А давайте рассматривать происходящее с точки зрения Винни-Пуха. И свяжем систему координат не с Землей, а с падающим Винни-Пухом. Давайте посмотрим, а что увидит падающий Винни-Пух. Первое, что он увидит, что поверхность Земли несется вверх с ускорением “g“. Вы находитесь на месте, от вас шарик улетел куда-то наверх, а снизу к вам с ускорением “g“ несется Земля. Кстати, за какое время Земля долетит до Винни-Пуха? А мы его уже считали. Если надо пролететь расстояние “h“ с таким ускорением, за такое время Земля долетит до Винни-Пуха. Но он увидит, что не только Земля летит к нему, но еще и летит ядро из пушки. Я напомню, по условию задачи нужно подобрать все так, чтобы неприятность, связанная с ядром, реализовалась раньше, чем неприятность, связанная с Землей. Ядро должно долететь до него быстрее. А теперь главная идея. С каким ускорением падает Винни-Пух вниз? Около Земли все тела падают с ускорением “g“. А с каким ускорением летит ядро? Тоже “g“. Давайте вспомним закон сложения ускорений. Ускорение в движущейся системе отсчета, равно ускорению в неподвижной системе отсчета минус ускорение одной системы отсчета относительно другой. Но эти ускорения совпадают. И ядро падает вниз с ускорением “a“, и Винни-Пух падает вниз с ускорением “a“. Поэтому здесь мы получаем “g“ минус “g“. И получаем ноль. Поэтому с точки зрения Винни-Пуха ядро летит без ускорения. А если оно летит без ускорения, то с его точки зрения оно летит не по параболе, а прямо. Это нам с вами, неподвижным, кажется, что оно летит сюда, а ему кажется, что оно летит прямо. А если ядро летит прямо, под каким углом надо целиться, чтобы оно прилетело в него? Значит, целиться надо точно в него. Ядро прямо не полетит, оно будет заворачивать вниз, но и он будет падать вниз. Тангенс “альфа“, это “h“ на “L“. Наверное, надо было сказать, что расстояния равны, тогда все проще. Надо было бы стрелять под 45 градусов.

И последнее. С какой скоростью надо выпустить ядро? Для Винни-Пуха ядро летит без ускорения. То есть, оно летит прямо с постоянной скоростью. С какой? “V“ с ноликом. Ядру надо пролететь со скоростью “V“ с ноликом какое расстояние? Это “h“, а это “L“. По теореме Пифагора это расстояние, это корень квадратный из “L“ в квадрате плюс h в квадрате. Поэтому ядро долетит до Винни-Пуха за время: этот корень, делить на “V“ с ноликом. Это время должно быть меньше того времени, за которое долетит Земля до Винни-Пуха. Отсюда сразу находится “V“ с ноликом. Задача превратилась практически в устную. Мораль: выбирайте системы отсчета. Пока мы не пользовались законами Ньютона, это была задача на кинематику, можно выбирать ускоренно движущиеся системы отсчета. Мы говорили, что системы отсчета бывают инерциальные и неинерциальные. Сейчас мы выбрали неинерциальную систему отсчета. Пока мы не пользуемся законами Ньютона, так поступать можно. Если пользуемся законами Ньютон, они работают только в инерциальных системах отсчета.

Сергей Ивановский. Давайте еще раз поясним.

А.С. Чирцов. Инерциальные, это те системы отсчета, в которых уединенное одинокое тело, которое не взаимодействует ни с кем другим, движется без ускорения. А здесь Винни-Пух падает на Землю, он движется с ускорением. Конечно, если очень хочется, можно решать задачи в неинерциальных системах отсчета. И у нас, наверное, будет повод говорить об этом, когда мы будем говорить об Общей теории относительности и Теории гравитации. Оказывается, эти вещи очень тесно связаны друг с другом. Но пока решаем задачи только в инерциальных системах отсчета.

Сергей Ивановский. Тогда приступим к нашей основной теме.

А.С. Чирцов. Основная тема – законы сохранения. Сперва некоторое философское введение. Зачем это надо? У нас есть рецепт предсказания будущего. Это надо решать дифференциальное уравнение, которое представляет собой Второй закон Ньютона. Наверное, зрители видели, когда мы в прошлый раз рассматривали простейшую задачу падения шарика в воздухе на землю... Мы видели, что математика становится сложной. На самом деле во многих случаях решать такое дифференциальное уравнение, это большая работа. Правда, есть один способ. Решать его приближенно на компьютере. Грубо говоря, считать, что за небольшой промежуток времени силы не меняются и движение равноускоренное. По маленьким кусочкам так решать. Но это приближенный метод. А хотелось бы уметь решать точно. Есть некоторое чудо. Мы с вами ввели некоторые характеристики тел, которые двигаются. Это его радиус-вектор, задающий положение, скорость, ускорение, масса тела и сила, действующая на тело. Оказывается, что из этих характеристик можно составить некоторые математические комбинации, которые устроены так ловко, что как бы ни двигались тела, эти комбинации не изменяются. Такие комбинации иногда называют интегралами движения. Наличие и знание таких комбинаций очень часто позволяет упростить решение задач. Мы с вами сейчас эти комбинации выведем из законов Ньютона. Настолько выведем, насколько я решусь глубоко погружаться в математику.

Но их можно вывести математически из законов Ньютона, не добавляя ни одной дополнительной физической идеи, которые мы озвучивали магическими словами “опыт показывает”. Это просто жонглирование формул. Но потом возникнет чудо. Мы с вами говорили, что любая физическая теория имеет ограниченную область применимости. Через некоторое время окажется, что в тех областях, где законы Ньютона уже не работают... Это, как минимум, область быстрых скоростей, область малых размеров и малых масс, когда частицы маленькие и зажаты в малой области пространства. Там правила игры в законы Ньютона уже не работают. А вот эти законы сохранения, они выживают. То есть, на самом деле мы выведем из законов Ньютона некоторые утверждения, которые имеют более общий характер, чем сами законы Ньютона. И, может быть, стоило физику строить наоборот. Сперва сказать, что опыт показывает, что есть такие законы, а из них вывести законы Ньютона. Но сами эти законы настолько абстрактны, что если с них начинать, то мало кто чего поймет. Кстати, может быть еще вопрос: “Почему верны эти законы? А нет ли еще более общего закона, из которого выводятся эти законы сохранения?” По секрету скажу: “Да, есть”. Это свойство глобальных симметрий пространства и времени. Тех симметрий, которые мы перечисляли на первой лекции.

Сергей Ивановский. Можно повторить.

А.С. Чирцов. Их там было много. Пространство однородно, изотропно, не меняется при отражении в зеркале. Время однородно и сдвиг во времени ничего не меняет. Этих законов на самом деле достаточно, чтобы вывести из них законы сохранения. Но это требует таких абстрактных рассуждений, что я думаю, что на этом этапе ничего кроме неудовольствия они не вызовут. Я надеюсь, что когда-нибудь, когда мы приблизимся к квантовой механике... Кстати, на языке квантовой механики это делается более элегантно, чем на языке классической физики. Чтобы перейти к квантовой механике, надо будет забыть и про законы Ньютона, и про скорости. На том языке, это вывести проще. Хотя можно и здесь, но криво. Кстати, на самом деле у нас будет три закона сохранения. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения механической энергии. Раньше в школе проходили все три закона. Потом решили, что закон сохранения момента импульса слишком сложный. Его из школьной программы изъяли. Это ужасно потому, что закон сохранения момента импульса очень нужен при переходе в современную физику. После того, как момент импульса из школьной программы выкинули, студенты это воспринимают из рук вон плохо. Чем ближе к детству, тем естественнее воспринимается.

Сергей Ивановский. Нам математик в школе говорил: “Когда какую-то теорему изучаешь, у нее есть несколько степеней усвояемости в голове”. То есть, тебе ее прочитали, тебе показалось, что ты понял. Потому прошло какое-то время, ты читаешь и не понимаешь. Потом ты прочел, вроде понял. И таких кругов может быть много. Поэтому, если ты когда-то об этом слышал, первый круг уже был сделан.

А.С. Чирцов. Я приведу простой пример. Положительный и отрицательный электрические заряды, это гораздо хитрее и сложнее, чем момент импульса. Но мы к ним привыкли с шестого класса. К кружочкам красненькому и синенькому. Нам кажется, что это просто. Ну, ладно. Я сказал, что три закона. Их шесть. Каждый закон двойной. Это закон сохранения для одного маленького тела, точки материальной, и для многих маленьких тел. Кстати, те, кто любит переход к практике. Можно сказать, что когда мы стали заниматься материальными точками, мы стали заниматься ничем потому, что реальных объектов нет. Но если теперь мы начнем заниматься системами материальных точек, то конечное тело можно рассматривать как гигантскую систему материальных точек. Наверное, если мы научимся работать сейчас с одной точкой, мы в каком-то смысле научимся работать с системой точек. Ну, и последнее. Говоря о законах сохранения, мне хочется сказать, как устроены все законы сохранения. Они все устроены абсолютно одинаково с точки зрения математики. Я уверен, что с законами сохранения все наши зрители и слушатели познакомились давно, в школе. Это известные задачи, когда имеется бассейн. В этот бассейн из одной трубы втекает, из другой трубы вытекает. И тут есть уровень воды. Математически все законы устроены следующим образом. Пусть высота уровня воды, это “X“. Тогда утверждается, что скорость изменения высоты уровня воды, или количества воды в этом бассейне, “dX“ по “dt“, есть разность скорости с которой вода втекает и скорости, с которой вода вытекает. Это очень простое дифференциальное уравнение. Оно имеет три типа решения, которые всем интуитивно понятны. Если скорость втекания воды больше, чем скорость вытекания, то тогда количество воды в бассейне будет увеличиваться. Если скорость втекания меньше скорости вытекания, то уровень воды будет уменьшаться. Если скорость втекания равняется скорости вытекания, то скорость изменения величины “X“ станет равна нулю. Тогда “X“ перестанет изменяться во времени. И “X“ станет сохраняющейся величиной.

Когда-то все были физиками и математиками, потом все стали экономистами. Экономика стала наиболее притягательной сферой для студентов. Я как-то решил почитать курс концепции современного естествознания экономистам. Как раз это было начало “перестройки”. Я решил говорить на языке экономики. Это уровень нашего благосостояния. Это то, что втекает. А в России, что в основном втекает? Нефть. А это то, что вытекает. То, что мы проедаем, прогуливаем. Понятно, что если втекает больше, чем вытекает, то благосостояние растет. Если вытекает больше, чем втекает, то... И вот я стал экономистам объяснять, что в Советском Союзе был регулятор этой дырочки. Он назывался коммунистическая партия. Она не давала много есть. И тогда было что с уровнем? Он рос. А потом регулятор исчез, и отсюда потекло больше, чем отсюда. С этим уравнением ничего не поделаешь. Мне экономисты сказали: “Вы ничего не понимаете. Мы построим здесь банки, сделаем фонды. То, что втекает, будет обмениваться, и уровень все равно будет расти”. Я говорю: “Ребята, у этого уравнения только три решения. Он будет падать, если здесь большая дырка”. Дальнейшая история оказалась... Тут и предвидеть ничего не надо было, это уравнение элементарное. Когда уровень упал, тут дно не совсем ровное, тут на самом деле много дырочек, где-то осталось вытекание, а где-то вытекать перестало. Тогда уровень стабилизировался. Все очень просто. Это на высоком уровне закон сохранения. А мы сейчас будем говорить о самых низких, фундаментальных законах сохранения, которые живут на уровне физики. Первый закон сохранения, это закон сохранения импульса для одной материальной точки. Что такое импульс? Если взять массу частицы и умножить на ее скорость, это произведение называется импульсом.

Сергей Ивановский. Давайте пофилософствуем. Что такое импульс в реальной жизни? Что это такое?

А.С. Чирцов. Это произведение коэффициента пропорциональности между силой и ускорением на производную от радиус-вектора. Для того, чтобы двигаться дальше, к этому надо относиться именно так. Потому, что если мы в макромире с этим свяжем какие-то чувственные восприятия... Можно конечно сказать, что если с заданной скоростью несется тяжелый поезд и электричка. Скорости у них одинаковые, а массы разные. То у тяжелого поезда импульс больше. И в некотором смысле тяжелый поезд представляет большую опасность. Но если мы вдруг захотим перейти в микромир, там масса станет кое-чем другим. Скорость станет кое-чем другим. Импульс станет кое-чем другим, а уравнения останутся. Короче, это некоторая характеристика прямолинейного движения. Если вас интересует то, как вы хотите что-то ударом разрушить или сдвинуть, вам для этого важна... Чем больше масса того, чем вы стреляете, тем будет лучше пробивать стены. И чем больше скорость. Как-нибудь так.

Сергей Ивановский. Допустим, если речь о боксерах или единоборствах. Понятно, что тяжеловес обладает явным преимуществом в массе. Импульс того движения, которое он совершает... Но, при этом, если мы имеем легковеса, который может развить скорость гораздо выше, то он имеет преимущество.

А.С. Чирцов. Результат будет, более-менее, одинаков. Один побыстрее, но полегче. Или по-другому. Если вы бьете перчаткой с какой-то скоростью, а потом с той же скоростью бьете, но у вас в перчатке еще свинцовый кусочек, то во втором случае противнику будет гораздо хуже. Если вы бьете перчаткой со свинцом, но бьете медленно, без свинца бьете с той же скоростью, то можно подобрать такое соотношение массы и скорости, что ему будет одинаково. Весь вопрос, насколько эффективно он будет отлетать от вашего удара. Есть еще вопрос, насколько активно его челюсть раздробится. Там скорее энергия, а не импульс. Для одной частицы это вещь гораздо более формальная, чем когда их несколько. Мы с вами сразу начали говорить, что кто-то кого-то бьет, а пока мне хочется говорить про импульс одной частицы. А теперь давайте посчитаем скорость изменения импульса. Скорость изменения может быть чего угодно, не только радиус-вектора. В том числе импульса. Для этого надо сосчитать производную от импульса по времени. Вся хитрость в том, что, вообще говоря, со временем может изменяться и масса, и скорость. Давайте для начала считать, что масса не меняется. Помните, что такое производная? Надо взять массу, которая всегда постоянна, на скорость в момент времени “t плюс чуть-чуть”. Минус масса на скорость в момент времени “сейчас”. Поделить на дельта “t”. И дельта “t” сделать маленьким. У этой дроби масса одна и та же, ее можно вынести за скобки. И тут будет скорость “сейчас плюс чуть-чуть” минус скорость “сейчас”, делить на время. Это приращение скорости делить на время. Это называется ускорение. Мы получили, что это есть “m” на производную по времени от скорости. Заодно мы доказали математическую теорему. Если нам надо найти производную от произведения меняющейся величины на константу, то константу можно вынести и умножить ее на производную от меняющейся величины. Константу можно выносить из-под знака дифференцирования.

Сергей Ивановский. И, тем не менее. Поскольку производная не совсем вещь стандартная для большинства людей. Давайте кратко в уголочке повторим еще раз, что это такое.

А.С. Чирцов. Если мы возьмем проекцию этого на ось “X”. Пусть у нас “X”-компонента скорости от времени как-то меняется. Например, как-то так. Мы должны взять значение скорости в момент времени “t”. Это то, что написано “Vx” от “t”. И значение скорости в момент времени “t плюс чуть-чуть“. Тогда скорость стала вот такой: “Vx” от “t” плюс дельта “t“. Тогда если из этого значения вычесть это значение, то получится это значение. Поэтому высота этой величины, это вот эта разность. Для каждой из проекций. Если эту высоту мы поделим на эту, то мы получим тангенс угла наклона вот этой секущей к графику. А если дельта “t” сделать маленьким, то секущая превратится в касательную. Нам сейчас важно другое. Мы договорились, что скорость изменения скорости, это есть ускорение. И тогда это есть “m” на “a”.

Сергей Ивановский. Можно сразу пояснить и комментарий. Каким образом скорость с ускорением связалась.

А.С. Чирцов. В эту сторону тангенс угла наклона. А если по “a” искать скорость, тогда надо рисовать площадь. Это то, о чем мы говорили. Мы говорили, что скорость, это не обязательно, когда кто-то едет, это и скорость изменения импульса. Импульс, это не та скорость, которую мы наблюдаем, когда мимо нас едет мотоцикл. Это произведение того, с какой скоростью он едет на массу мотоциклиста. Теперь Второй закон Ньютона. Масса на ускорение, это сумма всех сил, действующих на тело. Мы с вами доказали новую теорему. Оказывается, скорость изменения импульса, это есть сумма всех сил, действующих на тело. Эта теорема называется импульсной формулировкой Второго закона Ньютона. Раньше у нас было “ma”, это сумма всех сил. А теперь скорость изменения импульса, это сумма всех сил. Но поскольку здесь была чистая математика, то эти две формулировки эквивалентны. Можно так формулировать Второй закон Ньютона. А можно сказать, что Второй закон Ньютона говорит о том, что скорость изменения импульса, это есть сумма всех сил. Насколько я понимаю, Ньютон формулировал свой Второй закон именно так. Но эти две формулировки эквивалентны, так легче понять. Потому, что если бы мы начали с этой формулировки, сразу бы возник вопрос: “Что такое импульс?” Что бы мы сказали? Это произведение скорости на что? Ведь сформулировав Второй закон Ньютона, мы сумели как-то договориться, что такое масса. А если начинать с этого... Масса, это то, на что надо умножить скорость, чтобы получить импульс? А что такое импульс? Это произведение массы на скорость. Мы бы тут крутились без конца.

Кто-то стал говорить: “А почему вы строите механику так, а не так?” Обсуждение будет плодотворным, если вы скажете: “Если мы будем строить так, мы сделаем так, так, так...” Но тогда я буду задавать вопросы, что означает каждый ваш шаг. Как я готов отвечать на вопросы что означал мой каждый шаг здесь, то тут я должен иметь право задать эти вопросы. Мне кажется, что так удобнее. Если кто-то придумает такой способ и убедит меня в том, что здесь можно сделать все логично и понятно, я с удовольствием перейду на такое изложение механики. Тем более, что исторически это ближе к Ньютоновской концепции. И еще по одной причине, сейчас мы ее увидим. Вторая причина состоит в том, что это так пока масса постоянна. Но если масса не постоянна, то ее вынести за скобки нельзя. Тогда в общем случае здесь равенства никакого нет. Тогда “dp“ по “dt“ не будет равно сумме сил. Это значит, что если у нас движется тело с переменной массой... Такое может быть, грузовик, с которого песок сыплется. Космический корабль, который летит, у него работает реактивный двигатель, вылетает выхлоп. Забегая вперед, если тело сильно разгоняется, то его масса начинает возрастать. Это не в классической физике, а в теории относительности. Тогда одновременно эти два уравнения работать не могут. Если масса постоянна, это верно потому, что это математический вывод. Если масса меняется, то одновременно они не обязаны выполняться. Это значит, что если масса меняется, либо это верно, а это неверно. Либо это верно, а это неверно. Есть третья альтернатива – неверно и то, и другое. Но одновременно они работать не могут.

Спрашивается: “Что делать, если масса меняется?” На наше счастье физика наука экспериментальная. Мы можем сказать магические слова: “Из опыта следует”. Из опыта следует, что при движении тел с переменной массой это работает, а это не работает. Кстати, если сумма сил равна нулю, то скорость изменения импульса равна нулю и импульс сохраняется. Оказывается, если на тело не действуют силы, тело движется так, что произведение его массы на скорость не изменяется во времени. Это может означать, что если по каким-то причинам масса стала уменьшаться, то скорость должна увеличиваться. Примерно так работает реактивный двигатель. Наверное, надо для желающих задачку придумать.

У меня любимая задачка про кобру. Вот лежит кобра на весах. Кобра длиной “L”, массой “m“. Будем считать, что масса распределена по кобре по всей длине. Нет сопротивления воздуха, Архимедовой силы нет или она мала. Пока она лежит, вес кобры будет “mg”. Кобре надоело взвешиваться. Биологически кобры, насколько я понимаю, устроены так, что для того, чтобы укусить ей надо на хвост сперва встать, а потом она кусается. Так вот, пусть кобра равномерно встает на хвост в течение времени “t”. Сколько она будет весить пока она встает на хвост? На самом деле она будет весить больше, вовсе не “mg”. Потому, что раньше, пока она лежала, у нас сила тяжести равнялась силе реакции опоры. Вес тела равнялся силе реакции опоры. По Третьему закону Ньютона, сила, с которой опора, весы, действовали на кобру, равнялась силе, с которой кобра действует на весы. Теперь кобра стала подниматься. Тогда эти силы не должны равняться друг другу. На самом деле сила реакции опоры стала больше. Если вы решите эту задачку, окажется, чем быстрее кобра встает на хвост, тем она будет больше весить. Я обычно это студентам рассказываю в начале семестра. Я им всегда рекомендую поставить эксперимент. Как только появляется первый лед на озере, надо осторожно выйти на середину озера. Осторожно, чтобы не провалиться. Осторожно присесть на корточки, а потом резко встать. Вы убедитесь, что в этот момент ваш вес будет больше, потом будете долго сушиться. Физика - наука экспериментальная.

Сергей Ивановский. Если чуть-чуть пофилософствовать. У нас есть импульсная формулировка закона Ньютона. И чтобы человек понимал. Не совсем корректно воспринимать этот закон, как какие-то физические конкретные вещи. Как мой товарищ задавал мне вопрос: “Объясни мне на пальцах, что такое скорость изменения импульса”. Это некая математика, из которой мы можем какие-то выводить примеры.

А.С. Чирцов. Если вам надо найти вес кобры, это соотношение дает вам рецепт это просто вычислить.

Сергей Ивановский. Либо если мы говорим про удар.

А.С. Чирцов. Это следующий закон сохранения. Здесь работает этот закон. А теперь будет куда более интересный закон. Закон сохранения импульса, когда у нас много частиц. Представьте себе, что у нас есть не одна частица, которая летает с какой-то скоростью... Это была частица “m”, которая летела со скоростью “V“. А много частиц. Теперь у них разные массы и разные скорости. Поэтому мы скажем, что это была частица номер один, и она летела со скоростью “V1”. Была вторая частица, с массой “m2”, она летела со скоростью “V2”. Последняя частица, с массой “mn“ и скоростью “Vn”. “n” – это последний номер частицы. Я еще одну частицу введу: “m” с номером “j”, “Vj“. Эта частица, она между первой и последней. Давайте введем понятие импульса системы частиц. Полный импульс, это будет просто импульс первой частицы плюс импульс второй частицы, и так далее. Плюс импульс частицы с номером “j”, плюс и так далее, плюс импульс последней частицы. Это определение. Надо сосчитать импульс каждой частицы и все импульсы сложить. Это по определению. Это мы договорились называть полным импульсом такую сумму. И это было определение. Мы говорили, что импульсом одной частицы по определению равняется это. Потом с нашим определением и с законом Ньютона, который был экспериментальный закон, мы из определения и экспериментального закона получили теорему. Пока это определение. Но сейчас мы из этого определения получим некоторую теорему, которая будет куда более сильная, чем эта.

Я хочу еще немножко о математике поговорить. Неудобно так писать, я кучу раз написал букву “P”. Но так писать ужасно неудобно. Поэтому договорились писать короче. Тут поставить такую закорюку, которая называется “сумма“, здесь поставить одно из слагаемых. А здесь написать какие значения должно принимать “j”. Так и пишут, “j” должно принимать значения от 1 до “n”. Физики и математики часто понимают, что читатель имеет достаточно большую фантазию, видя, что в системе “n” частиц, понятно, что надо суммировать по всем. Какие значения “j” пробегает читатель поймет сам. Но потом не пишут “j”. Считают, что если здесь “Pj”, читатель поймет сам. В некоторых случая и сумму не пишут, считая, что умный читатель поймет сам, когда надо суммировать. Но это уже в умных книжках. А в учебниках сумму оставляют. На самом деле сумму не пишут когда у нас произведение двух величин с одинаковым индексом.

Теперь надо сосчитать скорость изменения суммарного импульса. Скорость изменения суммарного импульса, это производная импульса по времени. Я не буду доказывать, что скорость изменения суммы равна сумме скоростей изменения. Это делается почти также, как я сейчас доказывал, что константу можно вынести. Это импульс в момент времени “t” плюс дельта “t“, минус импульс в момент времени “t“ поделить на дельта “t“. Так вот это есть сумма по всем частицам скоростей изменения импульсов каждой частицы в отдельности. Но скорость изменения импульса каждой частицы в отдельности, это сумма сил, действующая на каждую из частиц. Поэтому здесь будет сумма по всем частицам суммарных сил, действующих на каждую частицу. Надо на каждую “мошку“ сосчитать какие действуют силы, и все эти силы сложить. Сил будет очень много. Но оказывается все силы можно разделить на две группы. Например, у нас есть Земля. Все “мошки“ притягиваются к Земле. На каждую “мошку” действует сила “mg”. У нас есть воздух. Воздух силой Архимеда выталкивает “мошек”.

А теперь вопрос философский. У нас есть рой “мошек”. Земля является членом роя? Нет. Воздух является членом роя? Нет. Кстати, еще “мошки” к Солнцу притягиваются, Солнце тоже не является членом роя. Все силы, которые действуют на элементы коллектива или роя, они называются внешними. Но это еще не все. “Мошки” между собой могут действовать друг на друга. Например, при столкновении возникают силы их расталкивающие, и они разлетаются. Или можно сделать “мошек” положительно заряженных и отрицательно заряженных. Положительно заряженные будут расталкиваться, отрицательные друг от друга отталкиваться, а с разными знаками будут притягиваться. Наконец все “мошки“ имеют массу, и по закону Всемирного тяготения они будут притягиваться гравитационно. Вот эти все силы, с которыми “мошки” друг с другом взаимодействуют, называются внутренними силами. В этой сумме есть масса сил внешних, я их такой фигурной буквой напишу, тут напишу “внешние”. И масса сил внутренних. Я буквой “f” напишу, “внутренние”.

А вот теперь вспомним Третий закон Ньютона. Если на эту “мошку” эта “мошка” действует с какой-то внутренней силой “f”, действующей на вторую “мошку” со стороны “мошки“ “j”, то по Третьему закону на эту “мошку“ действует такая же сила, смотрящая в обратную сторону. И что будет, если мы сложим эти две силы? Ноль. И так будет со всеми парами сил внутри нашего роя. И тогда все внутренние силы уходят. Это гигантская сумма, которую считать ужасно трудно. Но вся эта сума по Третьему закону Ньютона исчезает. И у нас получается, что скорость изменения импульса системы, это сумма только внешних сил, действующих на систему. А теперь если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы не меняется. Это и есть закон сохранения импульса для системы материальных точек. Импульс одной материальной точки не меняется, когда на него никакие силы не действуют. А импульс системы не меняется в том случае, если на систему не действуют внешние силы. А внутри системы может быть все, что угодно. Представьте себе, что есть очень далекая от всех планет космическая станция. Она не притягивается ни к чему, она далеко от всего. На эту станцию закидывают ковбоев, которых мы рассматривали, или кого угодно. Все они на станции могут делать все, что угодно. Но что бы они ни делали на станции, суммарный импульс системы не изменится. Согласитесь, это сильная теорема. Можно вообще не подглядывать за тем, что делается внутри станции. Мы точно знаем, что суммарный импульс сохраняется.

Сергей Ивановский. Даже если станция от их действий разрушится, на импульс системы это не повлияет никак?

А.С. Чирцов. Они могут взорвать станцию, но суммарный импульс всех осколков станции, и тех газов, которые разлетелись во все стороны... Если вначале в какой-то системе отсчета скорость станции была ноль, импульс был ноль, то после взрыва он останется равным нулю. И в этом нет ничего, кроме Второго закона Ньютона и Третьего закона Ньютона. Любые законы работают в определенной области. Оказывается, что хоть и сами законы, из которых мы все это вытащили, не совсем верные, но даже там, где они не работают, это утверждение работает. В связи с этим практический выход. Как можно двигаться. Когда я собираюсь куда-то идти, я взаимодействую с Землей. Когда я делаю шаг, я своей ногой отталкиваюсь от Земли. По Третьему закону Ньютона я иду сюда, на меня действует сила в эту сторону. Значит, на Землю со стороны меня действует сила в обратную сторону. Если бы мы были на неподвижной Земле, когда я делаю шаг, я сдвинулся в эту сторону, но Земля будет обязана двигаться в обратную сторону. Другое дело, что поскольку масса Земли гораздо больше, чем моя масса, то скорость Земли будет меньше, чем моя скорость. Наш суммарный импульс с Землей должен остаться равным нулю. Поэтому то, что я пошел заметно, а то, что планета Земля полетела в обратную сторону не очень заметно. Поэтому когда нам есть обо что оттолкнуться, все очень просто. Мы идем сюда, опора летит туда. И мы двигаемся. Гораздо хуже ситуация, когда мы оказались в пустом космосе, на космическом корабле. Оттолкнуться не от чего, а лететь надо. Вот космический корабль. Пусть масса корабля “M”. Корабль покоился или уже летел? В одном случае нам надо с места сдвинуться и арифметика будет совсем простой. А если он летел, нам надо разогнаться, тогда арифметика будет более сложной. Какой выбираем?

Сергей Ивановский. Сложный.

А.С. Чирцов. А не загрустят? Давайте простой. Пусть он стоит, а лететь надо. Земли нет, от которой оттолкнуться. Есть одна идея. У вас в корабле есть приятель с массой “m“. Если вы этого приятеля выкинете за борт корабля со скоростью “V”, а вначале импульс равнялся нулю, то этот ноль есть сумма импульса приятеля плюс... Поскольку вначале был ноль, а здесь появилось ненулевое слагаемое, чтобы получился ноль, надо второе слагаемое, которое это скомпенсирует. Отсюда получится, что космический корабль приобретет скорость, равную скорости, с которой полетел ваш приятель на отношение массы вашего приятеля к массе космического корабля. Если хотите эффективно летать в космосе, берите приятеля потяжелее. Сами старайтесь быть полегче и космический корабль делать поменьше. Уж если выкидывать приятеля, то с как можно большей скоростью. Наверное приятеля выкидывать технически не очень удобно. Гораздо удобнее выкидывать молекулы. А газ, чем больше скорость, тем больше температура. Поэтому лучше сжигать топливо, которое сгорает при как можно более высокой температуре. Массу сжигаемого топлива надо сделать побольше, а массу оставшегося корабля поменьше. Тогда мы полетим очень эффективно. Правда, в следующий момент, если мы хотим лететь еще быстрее, надо учесть, что мы уже летим с какой-то скоростью, наша масса изменилась. Тогда надо писать некое дифференциальное уравнение. Тогда можно связать конечную скорость космического корабля, когда мы не одного приятеля выкидываем, а долго сжигаем топливо, со скоростью истечения топлива. “U”, это скорость истечения топлива. Тут, кстати, минус будет. Здесь я поставлю по модулю. Понятно, что мы полетим в сторону, противоположную куда топливо... Поэтому здесь будет скорость истечения топлива, грубо говоря, вещь, связанная с температурой. А вот с массой... Сюда входит логарифм отношения массы стартовой к массе оставшегося корабля, когда все топливо сгорело.

Это страшная формула. Эта формула страшна тем, что она запрещает дальние космические путешествия. Что бы там ни писали фантасты. Вся беда в том, что до ближайших звезд расстояния световые годы. Поэтому, чтобы долететь туда за обозримое время, за годы, надо лететь со скоростью сравнимой со скоростью света. Я не буду говорить, что там формулы будут немножко другие. В теории относительности формулы меняются. Но даже здесь, в рамках классической физики, если мы сюда подставим пятую часть скорости света... До ближайшей из звезд где-то 1-2 световых года. Посетители интернета очень щепетильны к цифрам. Я сказал, что до Альфы Центавра где-то два световых года. Как кто-то написал: “Не два, один с чем-то...” Не все ли равно? Важен масштаб. Масштаб страшный. Если сюда подставить “c” на пять... И отсюда сосчитать... Масса оболочки, она понятно какая. И масса космонавта понятно какая. Остается только скорость истечения топлива поменять и стартовую массу. Скорость истечения топлива, пока у нас химические двигатели, она вся примерно одинаковая. А масса стоит под логарифмом. Если это уравнение решить, то получается, что если сжигать традиционное топливо, то масса сожженного топлива должна превосходить массу нашей галактики. Поэтому никуда не улетишь.

Нет, на Луну, на Марс... Тут поблизости летать можно. А далеко никуда не улетишь. Конечно, если прыгать через подпространство. Как вы понимаете, это начинается интересная, но ненаучная фантастика. Надо сказать, что даже умные фантасты к этому относятся с некоторой иронией. Вот у Стругацких, например, была “нуль-транспортировка”. У них кабина для “нуль-транспортировки” имела вид дачного сортира. Это в некотором смысле характеризует отношение самих Стругацких к таким возможностям, они в физике немножко разбирались. Конечно, можно сказать, что мы “U” будем увеличивать. Конечно, можно говорить про фотонные ракеты. Там скорость истечения топлива – скорость света. Вся беда в том, что масса фотона маленькая. Поэтому летать быстро трудно. Либо мы выдумываем какой-то новый принцип... Но на традиционном принципе реактивного движения далеко не улетишь. Разве что можно лететь со всей Солнечной системой вместе. Через несколько миллионов лет куда-нибудь прилетим. Вот, пожалуй, про закон сохранения импульса.

Сергей Ивановский. Я могу только еще раз задать этот вопрос, что сам импульс, это некая математическая величина, которую мы ввели. Дальше мы ввели скорость изменения этой математической величины.

А.С. Чирцов. Мы с этого начали. Я сказал, что из тех величин, которые мы ввели, радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, масса, можно составить некоторые комбинации. Которые устроены так ловко, что в достаточно широких условиях того, что происходит, они не меняются. Мы здесь разрешили много чему происходить, в той системе, которая там находится. Но оказывается, что если извне силы не действуют... Такие системы называются замкнутыми. Я скажу еще один прекрасный пример закона сохранения импульса. Представьте, что у вас есть два пластилиновых шарика массой “M” и массой “m”. И они летят с разными скоростями, “V1” и “v1“. Они будут при взаимодействии как-то тормозиться, пластилин будет как-то деформироваться. Понятно, что надо знать, как устроены шарики, как ведет себя пластилин при сжатии. Это все очень сложно. Но оказывается, если мы знаем, что они слипнутся, то есть, превратятся в одно тело, если нас интересует, что будет с этим телом... Когда у нас появился такой уже шарик, он полетит куда-то туда. Нас интересует его новая скорость. Закон сохранения импульса. Импульс первого шарика “mv”, плюс импульс второго шарика “MV“, равняется импульс образовавшейся системы. Мы договорились, что массы почти всегда складываются. “M” плюс “m“ на новую скорость. У нас одно уравнение и одно неизвестное. Все решилось. Мы можем вообще не знать, что происходит внутри шарика при столкновении. Но этот закон позволяет сосчитать.

Сергей Ивановский. То есть, мы, грубо говоря, до конца не понимаем, что такое импульс, его нельзя потрогать. Но, пользуясь математикой, мы можем из этих законов извлекать более-менее понятные для нас характеристики. Прав я или не прав?

А.С. Чирцов. Импульс не сильно связан с нашим чувственным восприятием. Пока мимо нас летит, скорость как-то видна. Масса тоже не очень видна, когда летит мимо нас. Импульс так со стороны не виден. Его можно измерить, массу можно измерить, скорость можно измерить. С помощью этой штуки можно хорошо рассчитывать вполне осязаемую величину, скорость после столкновения пластилиновых шариков. Вот когда они не слиплись, а столкнулись и разлетелись, пока ничего не получится. Потому, что они разлетятся после удара с двумя скоростями и неизвестных у нас будет два. А уравнение у нас пока только одно. Тогда надо еще что-то придумывать. Надо конкретизировать, что происходит при ударе этих двух шариков, если они разлетятся. Если они склеились, то вот получается. Как рассчитать количество топлива, чтобы разогнаться и куда-то полететь. Примерно так и рассчитывают. Конечно, там есть много нюансов. Наверное, двигатель работает в разных режимах на разных стадиях полета. Но, в общем, ничего кроме закона сохранения импульса там нет.

Сергей Ивановский. Здесь еще, что мне интересно. То есть, мы ввели условные математические величины. Мы пофилософствовали о том, что это такое. Многие могут высказать свое собственное мнение, что это бред. Но критерием истинности этих вещей на доске является практика, которая позволяет придумывать что-то новое. И создавать приборы, работающие на основе этих законов.

А.С. Чирцов. Можем предложить посчитать количество топлива как-то по-другому. Я думаю, что ничего не получится. Даже с помощью законов Ньютона. Потому, что это будет такая сложная задача... Топливо, двигаясь через дюзы... Там такие сложные взаимодействия, что мы никогда в этом не разберемся. Ни один компьютер этого просто не сосчитает. Есть какие-то приближения, но они так... Потому, что все это приближения, до сих пор, если мы хотим хорошо все знать, есть понятие аэродинамической трубы.

Сергей Ивановский. Теперь бытовой вопрос про импульс. Например, когда нас учили наносить удары на каратэ, нам говорили, что: “Ты можешь ударить и руку там оставить. А можешь ударить импульсно, отдернув ее назад”. Нам говорили, что это импульсное движение. Это именно бытовое представление о том, что такое импульс? Или это имеет какую-то связь с этим?

А.С. Чирцов. На самом деле внешне кажется, что это не бытовое, а скорее бытовое. Я объясню, в чем дело. Если какая-нибудь частица ударяет в стенку... У этой штуки был импульс “mv”. Если он прилипает к стенке, то переданный импульс равен “mv”. Если он отскакивает от стенки, то был “mv”, получился минус “mv“ и переданный импульс в два раза больше. Это, грубо говоря, если вы стреляете по стенке пластилиновыми пулями, которые прилипают к стенке, и пулями железными, той же массы, с той же скоростью, которые отскакивают от стенки. То пластилиновые пули будут давить в два раза слабее, чем железные. В этом смысле, если вы бьете “липким” кулаком и он припечатывается, или если он отражается, при таком ударе импульс будет передан больший. Другое дело, что у нас кулак не липкий. На самом деле мы бьем и мышцами отводим кулак. Поэтому здесь не соударение двух тел. Есть еще мышцы, которые в виде пружины действуют. Но здесь скорее аналогия зрительная. Я о другой вещи скажу. Оказывается, в некотором смысле, свет можно рассматривать как поток частиц. И у них есть свой импульс. Он устроен не как “mv”. Он устроен по-другому. Но, точно также, имея некоторый импульс, частицы света, их теперь называют фотонами, могут ударяться о стенку. При этом если стенка черная, она будет поглощать фотоны. А если стенка блестящая, она будет отражать фотоны. Если мы подвесим на ниточке такой парус, одна половина которого будет черная, а другая половина будет блестящая, и посветим на эту штуку, то здесь переданный импульс “mv”, а здесь “2mv“. Напомним, что сила связана с переданным импульсом. Поэтому сюда будет действовать сила в два раза больше. Эта штука закрутится в эту сторону. Это опыт по демонстрации светового давления.

Правда, если вы захотите сами поставить такой опыт... Можно сделать такую вертушечку, поставить на солнце и она закрутится. Только в обратную сторону. Потому, что у вас появится масса мешающих эффектов, которые накладываются на этот тонкий эффект, о котором я говорил. Дело в том, что импульс фотонов довольно маленький. Просто у вас черная поверхность нагреется лучше, чем блестящая поверхность. И от черной теплой поверхности начнет дуть ветер. И вы увидите не световое давление, а ветряную мельницу на самом деле. Эксперимент штука тонкая, вы всегда что-то получаете. Весь вопрос как вы интерпретируете то, что получаете. Потому, что на самом деле все устроено хитрее, чем мы думаем. Мы думаем, что наблюдаем один эффект, а параллельно с этим эффектом есть еще масса других эффектов. Выкинуть или отсечь лишние эффекты, это большая работа экспериментатора.

Теперь хочется перейти не к закону сохранения момента импульса, это напоследок, а к закону сохранения механической энергии. Для того, чтобы начать об этом говорить, надо ввести еще одно понятие. Механической работы. Кто-то из бунтарей написал такое: “Что за ужас. Под одним и тем же словом в науке подразумеваются разные понятия”.

Сергей Ивановский. Мне кажется, что не это самое страшное. А то, что этим словом в быту обозначают вообще что угодно.

А.С. Чирцов. Да. На самом деле и в быту одним и тем же словом обозначают совершенно разные вещи. Есть масса слов, которые звучат одинаково, но имеют совершенно разные значения. Например, есть слово “право“. С одной стороны, это часть шоссе, куда надо крутить руль, когда хочешь остановиться. А другое дело, это возможность совершать некоторые юридические акты. Согласитесь, это совершенно разные вещи. Есть еще политическая ориентация. Есть еще одна проблема, с буквами. В алфавите английском сколько? Ограничено. Еще греческие. И все. Поэтому одна и та же буква в физике и математике обозначает массу величин. Подразумевается, что человек разберется. Есть такое еще слово, которое имеет, как минимум, два значения. Это “работа”. Не могу удержаться и не рассказать анекдот из жизни. Когда мы учились на третьем курсе, у нас был курс по философии. К нам на семинары пришла молодая девушка, видимо только закончила философский факультет. Она относилась очень трепетно к своему предмету. Она посмотрела на нас страшными глазами и сказала: “Будете все у меня конспектировать первоисточники по двести страниц к каждому занятию. А кто не законспектирует, буду ставить двойки”. Потом дело дошло до первого семинара. Почему-то нам была поставлена тема “Сущность труда при социализме”. Там перемешано, политэкономия, философия, особенно в те времена. Надо было законспектировать кучу трудов Маркса, Энгельса, но понятно, что никто ничего не законспектировал. Она начинает спрашивать: “Вот вы. В чем сущность?” Он что-то говорит. “Неправильно. Два”. Так было пять или шесть раз, ничего кроме смеха это не вызывало. Потом говорит: “Кто комсорг? В чем состоим сущность труда при социализме?” Комсорг встает и говорит: “Сущность труда при социализме состоит, как, впрочем, при капитализме, это работа. А работа, как следует из лекций Евгения Ивановича Бутикова, это произведение силы на перемещение”. Потом комсорг глубоко задумался и сказал: “Не просто произведение, а скалярное произведение. Значит, еще и на косинус”. Бедная девушка не поняла о чем идет речь. Но когда она посмотрела на всех нас, она поняла, о чем идет речь. Потому, что все уже валялись под столами. Дальше был взрыв: “Всех отчислю!” Но все кончилось хорошо, на следующий семинар пришел лектор, профессор, у нас были прекрасные семинары и лекции по философии, мне очень понравились.

Сергей Ивановский. Ну, это сурово.

А.С. Чирцов. Кстати, никого на ГУЛАГ не отправили. Никого не отчислили. Просто поменяли преподавателя. Дали преподавателя по уровню группы. А эта девушка до сих пор преподает, но не на физическом факультете.

Сергей Ивановский. Философия, это тонкий момент. Точно так же, как, скажем, человек склонен к техническим наукам и он это воспринимает. Есть люди, которым это дается тяжело. Помню, как я читал книжку по философии и не понимал решительно ничего.

А.С. Чирцов. Я отнюдь не считаю, что она бесполезна. Когда мне студент не может ничего ответить по физике, я говорю: “Тебе бы надо было лучше философию учить. Тогда бы ты минут десять что-нибудь проговорил, даже не зная, что надо сказать”. И проговорил бы достаточно складно. Это тоже неплохо на самом деле. Там есть свои принципы, свои законы. Да, она устроена не так, как естественная наука. То, что философия существует с незапамятных времен, она раньше, чем физика появилась, в этом есть потребность. Что же такое работа? Если тело переместилось из точки “1” в точку “2“, и мы проведем вектор, который покажет, куда тело переместилось, “l”, на тело при таком перемещении действовала какая-то сила, “F”. Например, она действовала вот сюда. И между ними был угол “альфа“. Работа на пути из точки “1” в точку “2”, по определению, это произведение величины силы, длины этого вектора, на величину перемещения, на косинус угла между ними. Кстати, сила у нас измеряется в Ньютонах, перемещение в метрах, а работа измеряется в Джоулях. Джоуль, это был такой физик, который много сделал для закона сохранения энергии.

Но это плохое определение. Дело в том, что по прямой тела почти никогда не перемещаются. И сила на них действует не постоянная, а все время меняющаяся. Поэтому правильный рисунок будет такой. Это точка старта, это точка финиша, а тело переместилось как-нибудь вот так. А сила то сюда действовала, то сюда. И углы все время меняются. Что делать тогда? Тогда мы разобьем нашу траекторию на маленькие кусочки. Такие маленькие, что на каждом кусочке его можно считать прямолинейным, и можно считать, что на каждом кусочке сила постоянна. Этот кусочек дельта “l”, их будет много. Этот с номером “j”. Сила действующая будет “Fj”. И угол между ними будет “альфа”“j”. Все три величины будут меняться. Мы разобьем на такие маленькие, что не меняются. Тогда элементарной работой на этом кусочке, на кусочке дельта “Aj”, мы назовем произведение модуля силы на этом кусочке, на модуль перемещения, на косинус угла между ними. А теперь я должен сказать, что в математике так часто приходится умножать длину одного вектора на длину другого вектора, на косинус угла между ними, что для такой математической операции придумали специальное название. Такую операцию называют скалярным перемножением двух векторов. В результате скалярного перемножения получается число. Такую операцию обозначают так. Один вектор, запятая, второй вектор. И все в круглых скобках. Иногда пишут без скобок. Но давайте, чтобы не путать обычное умножение со скалярным, будем пользоваться такой записью.

Оказывается, элементарная работа, это скалярное произведение силы на перемещение. Это работа на одном кусочке. Тогда полная работа из “1” в “2”, будет сумма элементарных работ. Это будет так. Дельта “A2” плюс дельта “A2”, плюс дельта “Aj” и так далее. А можно написать так. Чтобы не писать много мы договорились писать сумму. Сумму по “j” от единицы до последнего кусочка. А здесь стоит скалярное произведение силы на каждом кусочке на длину этого кусочка. То есть, произведение длин на косинус угла между ними. Но каждую длину кусочка, чтобы его можно было считать прямым, надо сделать маленьким. В математике так часто приходится какую-нибудь кривую разбивать на дольки. На каждой дольке что-то считать и суммировать. Что для данной операции математики придумали специальное название и обозначение. Это называется интеграл по криволинейной траектории. Вместо этого пишут, вместо суммы, закорюку. Здесь пишут “F”. А мы помним, что если не хочется писать, что дельта “l” стремится к нулю, мы пишем “dl”. Здесь пишут точку, с которой надо начинать считать. Здесь пишут точку, в которой надо считать заканчивать. Кто-то говорил, что повторение школьного курса. Ну, попробуйте в школе сказать про криволинейный интеграл по траектории от скалярного произведения силы на элементарное перемещение. Я специально внес это сюда. Это новая идея, чтобы она немножко в голове отложилась.

Оказывается, в математике есть теорема. Если мы перемножаем скалярно два вектора “A” плюс “B” на третий вектор “C”, то скалярное произведение от суммы равно сумме скалярных произведений “А“ на “С“ и “В“ на “С“. Это значит, что если у нас действует не одна сила, а несколько сил, то работа всех сил равна сумме работ. Еще одно. Когда мы считаем сумму... Можно же в любом порядке суммировать. Работа на всем пути равна сумме работ на отдельных путях. На этом, я думаю, мы пока остановимся. Мне осталось сформулировать задачки. Я думал, что мы доберемся до закона сохранения энергии и там задачки интересные. Для закона сохранения импульса тоже интересные задачи. Простые задачи кончились. Формулируется просто. Имеется железнодорожная платформа, которая стоит на горизонтальных рельсах, никакого трения нет. Это замкнутая система, там импульс сохраняется. Масса платформы “М” на платформе стоит “N” одинаковых солдат. У каждого масса “m“. Каждый умеет бегать по платформе с одинаковой скоростью. Солдат умеет бегать со скоростью не относительно Земли, а относительно платформы. И вот командир дает солдатам команду побежать и свалиться с платформы. Будем считать, что они побежали и здесь они не толкаются. Он бежит, платформа кончается, он с нее падает. Каждый солдат бежит со скоростью “V” относительно платформы, а не относительно Земли. Когда платформа покатится, относительно Земли он с другой скоростью побежит. Помните закон сложения скоростей? В результате с платформы можно спрыгивать двумя способами. Сперва один спрыгивает, потом другой спрыгивает, по очереди. А можно всем побежать одновременно и свалиться. Важно не когда они сваливаются, а когда они начинают бежать. Только в этот момент они толкают платформу. Если они побежали сюда, куда платформа поедет? Туда. В каком случае платформа поедет быстрее, когда они спрыгивают по очереди или вместе?

И вторая задачка. Эта задача на закон сохранения импульса. А это задача на то, что скорость изменения импульса равна сумме всех внешних сил. Помните? Тут сумма всех внешних сил - ноль, импульс сохранился. А здесь будет по-другому. Имеется ящик с песком. Масса ящика с песком “М”. Он стоит на полу. Коэффициент трения “мю”. В этот ящик под углом “альфа” влетает пуля массой “m”, со скоростью “V” с ноликом. Она конечно не прямо летит, сила тяжести действует, “V” с ноликом, это перед самым ударом. И пуля застревает в ящике с песком за очень короткое время. Насколько сместится ящик? Тут будет все непросто. Согласитесь, что когда пуля попадает под малым углом, оно смещается. А если под большим углом, ящик вообще никуда не сместится. Поэтому правильный ответ у этой задачи такой: “Если “альфа“ меньше, чем что-то, то он сместится настолько. Если “альфа” больше, чем что-то, он сместится настолько”. А попробуйте без математики и без физики ответить на этот вопрос. Ну, а кому не нравится физика и математика, решите эту задачу как-нибудь по-другому. Боюсь, что ничего не получится.

Сергей Ивановский. Я предлагаю на этом поставить точку. На сегодня.

А.С. Чирцов. На сегодня, да. А в целом - запятую.

Сергей Ивановский. До следующего раза.

А.С. Чирцов. До свидания.