Сергей Ивановский. Всем добрый день. Мы продолжаем научную тему на канале Дмитрия Пучкова. У нас в гостях в очередной раз Александр Сергеевич Чирцов. Добрый день.
А.С. Чирцов. Добрый день. Добрый день, уважаемые зрители.
Сергей Ивановский. И о чем сегодня будем говорить?
А.С. Чирцов. Сегодня хотелось бы, после той нашей вводной лекции, перейти к разговору о физике, но не без помощи математики. Прежде чем это делать мне хотелось бы, во-первых, поблагодарить посетителей данного канала за большое количество заинтересованных отзывов. Именно теперь возникает некоторое подозрение, что, может быть, из единичной передачи получится некоторая серия. Хотелось бы, чтобы это была не совсем научно-популярная серия в том смысле, когда берется некоторое количество красивых терминов, ими начинают жонглировать... А чтобы все происходило с некоторым пониманием того, о чем идет речь. Поэтому раз от раза будет все труднее и труднее, но я думаю, что вместе мы с этим как-нибудь справимся. Надо сказать, что меня приятно поразил один пост. Помните, мы там немного пошутили по поводу того, как Господь создавал солнце, определив константу слабых взаимодействий? Теперь уточнение пришло: “Вначале не было ничего, только полная симметрия, и свободная калибровка летала над водами. Потом отделил Бог целый спин от полуцелого, и повелел целому спину подчиняться статистике Бозе, а полуцелому статистике Ферми. И увидел он, что это хорошо”. Ну, и так далее, достаточно остроумно и, в общем-то, правильно с точки зрения современного сценария развития космологии. Я всем рекомендую прочитать этот пост, вы получите гигантское удовольствие.
Сергей Ивановский. В наших студенческих коридорах, когда мы стояли перед лекциями, перед лабораторными, очень было много подобных бесед. Это было достаточно весело.
А.С. Чирцов. Правда есть и очень небольшое количество некоторых минусов. И мне хотелось бы, чтобы у нас все было эффективно, договориться вот о чем. Вот появляются такие посты: “У меня лопнул мозг. Чувствую себя идиотом, понимаю половину сказанного”. И так далее. Ну, друзья мои, во-первых, не обязательно об этом всем говорить. Я не умею делать четверного прыжка на коньках, но это не значит, что это плохо, и не значит, что об этом надо говорить. Если вам что-то непонятно, вы спросите, а мы ответим, нет проблем. На самом деле все, что придумано человечеством до сих пор не так сложно, чтобы это было невозможно, в принципе, понять.
Сергей Ивановский. Ну, а у нас сегодня будет... Основы или базис классической механики. Какое слово подберем, выбирайте вы.
А.С. Чирцов. Речь сейчас подойдет о том, как в классическом естествознании мы умеем предсказывать будущее. Для того, чтобы об этом говорить, надо еще много договариваться о словах. Вот сегодня мы скорее не о предсказании будущего говорить, а о словах. Все-таки надо отделить классическое естествознание... Я смотрю по постам, все ждут про Черные дыры и тому подобное. Поэтому я начну с того, чтобы немножко определить, где мы сейчас находимся и нарисовать маленькую карту. Она будет упрощенной, как и любая схема. Вот, в первом приближении всю физику можно представить как двухмерную карту. По одной оси мы отложим отношение скорости объектов, участвующих в явлении, к скорости света. А по другой такой хитрый параметр, это постоянная Планка, деленная на характерную массу, скорость объекта и размер той области пространства, где ему разрешено двигаться, линейной области пространства. Если мы тут отложим единицу, то все, что правее... Это скорости, больше, чем скорость света... Это ненаучная фантастика, мы ее выкидываем. Дальше откладываем область, где отношение “V” к “c” гораздо меньше единицы. То есть, когда объекты по сравнению со скоростью света почти стоят на месте. Теперь если мы поставим сюда постоянную Планка, нашу массу порядка 100 килограммов, нашу скорость, порядка метра в секунду, и размер этого помещения порядка 10 метров, мы получим величину много меньшую единицы. Поэтому отложим здесь область меньше единицы. В результате поле физики разделилось на четыре области. Вот здесь находятся массивные объекты, которые находятся почти в пустом пространстве и почти стоят на месте. Вот это и есть классическая физика и все классическое естествознание.
Это то, что проходят в школе. Это то, что знало человечество к середине XIX века. И пока мы будем удивляться здесь. Здесь уже много чего, что выходит за рамки здравого смысла и здравого рассудка. Если теперь разрешить двигаться быстро, но оставить объекты почти свободными и массивными, то здесь возникает релятивистская физика, которая называется “Теория относительности”. Здесь, когда объекты маленькие и им тесно, электрон зажат внутри атома, но он летает медленно. Скажем, в атоме водорода скорость электрона – 1/137 скорости света. Здесь находится квантовая механика. Надо сказать, что в этих полосочках правила игры, правила той программы суперкомпьютера, который организует нашу игру, не такие как здесь. Но, правда, в пределе из этих правил следуют эти, из этих правил следуют эти, но они разные. И, наконец, здесь есть область, где объекты летают быстро, но либо они сжаты в ядре, либо у них очень большие энергии. Это то, что называется “Физика высоких энергий”. Здесь мы на сегодняшний день не знаем правил игры. Понятно, что прежде, чем пытаться залезть сюда, надо иметь некоторый багаж.
Поэтому мы начнем с этого маленького квадратика. Но и здесь есть много неожиданностей. Мне хочется посмотреть на происходящее здесь немножечко с другой стороны, чтобы понять, что все не так очевидно и однозначно, как мы привыкли думать, пока учили школьные определения. Если конечно мы их учили. Вот этим бы и хотелось позаниматься. Вообще для начала надо поговорить о том, что, наверное, предсказать будущее, это договориться о том, как объекты или точки, составляющие наши тела, расположены в пространстве. И как они при этом будут изменяться во времени. Ну, и, естественно, надо обсудить, что такое пространство и что такое время. Потому, что в этой области копий сломано очень много. Рискнем?
Сергей Ивановский. Самые простые бытовые представления о пространстве и времени, наверное, ясны каждому человеку. Когда и так понятно, ты находишься в помещении, помещение можно мерить локтями, верстами и тому подобное. Что такое время? Ну, день, ночь... Вроде как понятно, что что-то куда-то течет, движется. Что-то меняется за этот промежуток времени. Ну, это буквально представления бытовые.
А.С. Чирцов. Мне очень нравятся ваши слова, я примерно то же самое хотел сказать. Я чуть по-другому скажу. Сразу скажу, что философы нас с вами сейчас бы разнесли в клочья. Я специально открыл Википедию, и мне понравилось утверждение, что: “Пространство, это понятие, используемое непосредственно или в словосочетаниях в разных разделах знаний, под которым приписывается ему разный смысл”. Это означает, что говоря слово “пространство”, математики представляют себе одно, физики немного другое. Когда я учился, нам говорили очень красивые слова, что: “Пространство и время, это атрибутивные формы существования материи”. Сразу возникают вопросы: “Что такое атрибутивные? Что такое материя и что такое существование?” Понятно, что если мы будем отталкиваться от такого, или подобного, определения, то мы сегодня ни о чем не договоримся более конкретном. Мы просто в этом завязнем. Поэтому естественные науки решили поступить хитро. Они отказались от попыток дать определение, что такое пространство и время. Потому, что любое определение оперирует другими понятиями.
Все-таки как-то сказать надо. Мне кажется, что если мы говорим, что это неопределяемое понятие, то лучше его описать словами, которые понятны из бытовой жизни. Примерно то, что вы сказали. Мне очень нравится, что написано у Ричарда Фейнмана, в его лекциях: “Пространство, это свойство объектов располагаться один, относительно другого. Время, это свойство событий следовать одно за другим”. К этому можно придираться: а что такое “следовать”, что такое “располагаться”? Но некоторое интуитивное представление, о чем идет речь здесь возникает. Тут мы можем уйти в схоластику. Поэтому давайте мы притворимся, что понимаем, о чем идет речь. Грубо говоря, когда вы делаете фотографию, у вас объекты не налезают друг на друга, это пространство. А когда вы делаете две фотографии одну за другой, то один и тот же объект оказывается в разных местах на фотографиях, вот это время, в некотором смысле. Такой пример можно привести.
Физики предпочитают это не обсуждать, а обсуждать две другие вещи. Как пространственным характеристикам приписывать числа, то есть, как измерять расстояния. И второе, обсуждать какими свойствами обладает пространство. Тут опять можно уйти в схоластику и начать говорить: “А это пространство обладает свойствами или объекты в пространстве?” Я думаю, для начала все-таки о более сложном, о свойствах пространства. Принято говорить, что пространство однородно. Это что означает? Это означает, что если нас сейчас перенести на 5 метров вбок... Нет, ничего хорошего не будет, мы окажемся за зданием и упадем. Перенести вместе со зданием, вместе с планетой, вместе с Солнечной системой... Весь мир сдвинуть на 5 метров вбок. Все объекты, которые есть в нашем мире. Тогда возникает вопрос: “Изменится что-нибудь или нет?”
Сергей Ивановский. Если интуитивно предположить, ничего не должно измениться. Если не здание переносить, а просто мы пройдем по коридору. У нас коридор сто метров, мы на сто метров сместимся...
А.С. Чирцов. Если рядом со стенкой конец коридора, то плохо конечно. А если он длинный... Когда-то все учащиеся ВУЗов грядки пололи. Есть бесконечная грядка, уходящая за горизонт. Ты прополол 50 метров грядки, а ее как было бесконечно много, так и осталось. Так вот, если мы поверим, что смещение всего мира куда-то в сторону ничего не изменит в этом мире, мы говорим, что пространство однородно. Кстати, оттуда можно вытащить, что в однородных пространствах обязан сохраняться импульс.
Сергей Ивановский. Почему?
А.С. Чирцов. Это длинная работа. А импульс, вроде, из опыта, сохраняется. Это является косвенным свидетельством в пользу того, что, может быть, наши интуитивные представления верны. Кстати, мы сейчас увидим, что практически со всеми глобальными свойствами пространства и времени связаны те или иные законы сохранения. Пока это будет декларативно. Когда-нибудь мы дойдем то того, чтобы пояснить, как это можно показать. Следующее свойство. Давайте выберем какое-нибудь направление, выберем какую-нибудь ось и повернем весь мир вокруг этой оси на 37,5 градусов. Весь мир. Изменится мир от этого или нет? Опять же, наверное, интуитивно кажется, что не изменится. Если мы в это верим, то говорим, что наше пространство изотропно. То есть, в этом направлении пространство устроено также, как в том направлении. Понятно, что на малых расстояниях это не так. Вниз, там земля находится, наверху “небесный купол”. Но вот если мы будем говорить о масштабах гораздо больше галактических, там есть ячеистая структура галактик... А если еще на больших, там, вроде, во все стороны все поровну. Это второе свойство пространства.
Следующее свойство пространства, о котором надо договориться, это некоторая альтернатива... Пространство ограничено или не ограничено. Есть ли границы нашего мира. Сама идея однородности пространства говорит, что границ нет. Потому, что если мы долго будет идти, дойдем до границы, и там будет что-то новое. Вообще, наверное, плохо себе представить, что летим мы на космическом корабле и подлетаем к стене, на которой неоновыми буквами написано: “Конец Вселенной”. Смешно. Сразу возникает масса вопросов.
Сергей Ивановский. У меня возникает аналогия, когда ты стоишь перед воротами в рай.
А.С. Чирцов. Как-то вызывает улыбку стена с неоновой надписью. Почему улыбку? Возникает вопрос: “Если в этой стене пробить дырку и туда голову высунуть, а что увидишь?” В астрономии никаких наблюдений, хотя бы косвенно свидетельствующих о наличии такой стенки, вроде как, нет. Поэтому, наверное, удобно считать, что пространство безгранично. Но вот здесь очень часто связывается безграничность пространства с его бесконечностью. Вот это уже тонкий вопрос. Вообще в классическом естествознании считалось, что мир бесконечен. Тут я сразу хочу сказать об одной неприятности, которую знал, говорят, я сам с ним не разговаривал, Исаак Ньютон, но предпочитал об этом молчать. Ньютон был разумный человек. Дело в том, что предположение совместное об однородности и бесконечности пространства приводит к чепухе, которая называется, по-простому, “парадокс звездного неба”, а по-научному “фотометрический парадокс”.
Речь идет вот о чем. Давайте на секунду представим себе, что наш мир конечен. Поскольку во все стороны все одинаково, лучше считать, что это шарик. И пусть пока радиус нашего мира “R”. Мы, для простоты, будем находиться в центре мира. Не очень скромно, но так считать будет легче. А здесь равномерно натыканы звезды. Поскольку мир однороден, они должны быть натыканы равномерно. Нигде их не больше в среднем, нигде их не меньше. Хорошо известно, что интенсивность света от одной звезды спадает с расстоянием, как некоторая константа, которая зависит от того, как светит звезда, на квадрат расстояния до звезды. Это хорошо известно и из эксперимента, и из того, что если она во все стороны энергию кидает поровну... А площадь поверхности шарика растет как “пи” на “R” в квадрате, то квадрат отсюда и получается.
Давайте оценим, сколько света мы увидим в центре мира. Для этого все звезды мысленно перетащим на границу мира. Мы расстояние увеличили, поэтому света придет меньше, чем когда они находились здесь. Тогда то, что мы увидим, суммарная интенсивность света, будет меньше, чем интенсивность света от каждой звезды делить на квадрат размера нашего мира, умножить на число звезд. А сколько у нас звезд? А число звезд очень легко сосчитать. “Альфа” на “R” в квадрате я оставлю. А число звезд, это концентрация звезд, которая постоянна, как мы договорились, на объем шарика. А объем шарика... Ну 4/3”пи”, это мелочь. Можно писать, можно не писать. Но даже из соображений размерности, объем, он в кубических метрах, поэтому “R” в кубе. И, о, ужас, здесь у нас “R” в третьей степени, а здесь во второй. И мы получаем, что интенсивность света меньше. На самом деле я неправильно написал, когда мы перенесли, мы получили меньшую интенсивность, а видим мы больше. Больше, чем величина, которая пропорциональна радиусу нашего мира. А мы захотели мир сделать бесконечно большим. Тогда получается, что ночью небо должно полыхать бесконечно ярко. Что противоречит эксперименту.
Сергей Ивановский. Хитро.
А.С. Чирцов. Вот такая неприятность, которая была замечена еще более чем пару столетий тому назад. Поэтому как-то бесконечным пространство... Нет, может быть, нам повезло. Вокруг нас много звезд, а там далеко просто ничего нет. Но мы с вами договорились об однородности. Можно много чего придумать, мы об этом еще пофантазируем. Еще одно свойство нашего пространства, это альтернатива “непрерывность - дискретность”. Это вопрос о том, а можно ли расстояние делить до бесконечности. Можно ли ввести бесконечно малое расстояние? Мы сейчас будем обсуждать, как измерять расстояние. И мы увидим, что здесь есть некоторый предел деления. Поэтому если раньше, в классическом естествознании, при Ньютоне считалось, что пространство непрерывно и можно делить расстояние сколь угодно мелко, то теперь, скорее, мы склонны говорить, что все дискретно. Есть минимальное расстояние, меньше которого говорить не о чем.
Следующее важное свойство нашего пространства, это его трехмерность. Математики, наверное, скажут, что трехмерность, это всегда можно задать три взаимно перпендикулярных направления. А четвертое, перпендикулярное этим трем, не задать. Это конечно так, но у меня возникает вопрос: “Как мы определим взаимную перпендикулярность?” Это вопрос к математикам. Было бы неплохо, чтобы философы об этом подискутировали. Вот мы сейчас договоримся, как расстояние мерить. А что такое взаимный перпендикуляр? Пусть математики об этом порассуждают и пофантазируют. Мне нравится немножко другой разговор о трехмерности.
Это очень важное свойство объектов, иметь некоторое количество степеней свободы. Это сколько надо взять минимальных чисел, минимальный набор, чтобы полностью задать положение нашего объекта в пространстве. Первое, что обычно приходит в голову, что у этого фломастера сейчас три степени свободы. Что его можно двигать вверх-вниз, вправо-влево, вперед-назад. Но если мы подумаем, то все не так. Еще этот фломастер можно вот так крутить, можно так крутить и можно вот так крутить. Получается шесть. Это тоже неправда. Можно сделать еще вот так. Получается шесть у этого и шесть у этого – двенадцать. А еще можно гнуть, можно этой штучкой щелкать. Масса степеней свободы. Кто-то когда-то посчитал, что у человеческой руки, если мы кость не гнем, суставы не ломаем, 82 степени свободы.
Наверное, очевидно, что чем меньше степеней свободы, тем легче разбираться с такими объектами. Тогда возникает естественный вопрос: “Какое минимальное число степеней свободы возможно у объектов в нашем мире?” В макромире – шесть. Любой объект можно перемещать и крутить вокруг какой-то точки вокруг трех осей. А вот в микромире есть объекты, которые крутить нельзя. И у них тогда остается три степени свободы. Трехмерность пространства во многом связана с этим свойством таких простейших объектов.
Ну, и, наверное, последнее, что хотелось бы сказать о свойствах пространства, это о его геометрических свойствах. В прошлый раз мы говорили, что есть, как минимум, три математики: математика Евклида, математика Римана и математика Лобачевского. Обычная математика подразумевает, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую параллельную данной. Это обычная геометрия, привычная нам. Но есть геометрии, в которых постулируется, что через точку вне прямой можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной. И есть геометрия, которая говорит, что ни одной нельзя провести прямой, параллельной данной. И вот математики с удовольствием развивают первую, вторую, третью геометрии. Нам, занимающимся обсуждением реального мира, небезынтересно какая геометрия работает у нас. Я скажу очень осторожно. Если мы двигаемся не очень быстро и не с очень большими ускорениями, если вблизи нет очень массивных тел вроде десяти Солнц, если мы занимаемся расстояниями не очень большими, не сильно больше размеров нашей галактики, то с хорошим приближением работает Евклидова геометрия, которую мы учили в школе. В этом смысле говорят, что пространство Евклидово.
Ну, а теперь я попытаюсь привести в качестве упражнения для фантазии пример не Евклидова пространства, где решается “парадокс ночного неба”. Представьте себе двухмерных тараканов, которые живут на плоскости доски. Они могут ползать вправо-влево, вверх-вниз, а сюда выпрыгивать не могут. У них нет третьего измерения. Тогда они скажут, что живут в Евклидовом, плоском, ограниченном пространстве. У этого пространства есть границы. Теперь ночью, пока они спят, аккуратно пересадим их на глобус. Они двухмерные и по-прежнему думают, что живут на плоскости. Потому, что для того, чтобы представить себе глобус, надо быть трехмерными. Скажите, а у их мира есть границы? Если куда-то ползти, до границы доползешь? Нет. Их мир безграничен. И никакой стенки с надписью “Конец мира” в их двухмерном мире нет. Теперь следующий вопрос: а их мир бесконечен? Нет, площадь поверхности шара: четыре “пи” “R” в квадрате. Это конечное число. Более того, если мы на поверхности этого глобуса натыкаем звезды, везде поровну, то мы получим конечное число звезд. И никакой бесконечности мы не получим. Вот вам пример безграничного, но конечного пространства, правда, двухмерного.
Если наши тараканы будут разумными, они обнаружат страшную вещь. Посмотрите, на полюсе есть два меридиана, которые выходят под прямым углом друг к другу? Есть, конечно. А под каким углом этим меридианы пересекают экватор? Тоже 90 градусов. В этом мире есть треугольник, у которого все углы по 90 градусов. И сумма углов 270 градусов вместо 180, как мы учили в школе. Здесь другая геометрия. Нет, мы скажем: “Это не настоящий треугольник, он кривой. Это никакие не прямые, а большие дуги окружностей”. Но это мы понимаем с вами. Мы-то трехмерные. А они плоские, могут вообразить себе только плоскость. И тогда они скажут, что в их мире работает другая геометрия.
Теперь я хочу ввести некоторые математические термины. Те пространства, где работает Евклидова геометрия, их называют не искривленными, или плоскими пространствами. А вот такое пространство называется искривленным. У меня спрашивает один человек, он категорически против теории относительности: “Как можно себе представить искривленное пространство?” Как пространство может быть кривым? Это математический термин. Если у вас работает геометрия Евклида, это не кривое пространство. Если она не работает, то оно кривое. Это пример кривого пространства. Оно может быть еще более кривым, не сфера, а какая-нибудь очень сложная поверхность. Кстати, почему я с осторожностью говорю о том, как определить перпендикулярность. Чтобы определить угол, казалось бы, просто проведем окружность, проведем сектор какой-то, измерим длину дуги, измерим радиус, получим величину угла. Сразу возникает вопрос: “А если пространство кривое?” Тогда у нас длина окружности не будет равна два “пи” ”R”. И как мы тогда определим угол и, следовательно, определим перпендикулярность? Это к математикам. Пусть фантазируют. Ну, вот, пожалуй, основные свойства пространства.
А теперь еще ближе к физике. Это была философия, космология, гадание на кофейной гуще. Может быть, кто-то уже представил себе, как можно решить “парадокс ночного неба” в нашем мире? Примерно так. Мы с вами плоские трехмерные тараканы в мире большей размерности, который не прямой, а кривой. Тогда наш трехмерный мир, подобно тому, как двухмерный мир здесь, может оказаться неограниченным, но конечным. Это одна из возможностей. На самом деле мы сейчас считаем, что все гораздо хитрее. Об этом тоже, может быть, сегодня успеем поговорить.
А теперь, как измерять расстояния. Известно, как измерять длину удава в попугаях. Кстати, можно мерить в попугаях, можно в метрах, в сантиметрах. Для наглядности, у меня есть некоторый эталон длины, “флом”. Я хотел бы измерить длину крышки ноутбука с помощью “флома”. Что значит измерить расстояние? Это посмотреть сколько раз этот объект уложится на этом. Раз, два... Вот незадача. Не улеглось точно. Поэтому, если мы честные люди, мы должны написать, что длина крышки ноутбука больше, чем два “флома”, но меньше, чем три. Но ясно, что это никудышное измерение. А как измерить длину крышки ноутбука точно? Что делать дальше? Дальше мы договорились поступить следующим образом. Оставшийся кусочек, чтобы его измерить, мы разобьем наш “флом” на некоторое количество одинаковых кусочков и будем измерять оставшимся. Я думаю, что все зрители догадаются, на сколько кусочков мы будем делить.
Сергей Ивановский. Пополам?
А.С. Чирцов. Тогда была бы двоичная система, которую так любят компьютерщики. Но исторически, поскольку у нас 10 пальцев, все так примитивно, что делится на 10 равных частей. У нас десятичная система. Конечно, если бы сейчас все придумывали, делили бы конечно пополам. Одной десятой “флома” будем измерять этот кусочек. Вопрос на засыпку: “У нас есть гарантия, что мы точно попадем на границу?” Никакой. Скорее всего, у нас получится, что 2,6 меньше, чем “L”, меньше, чем 2,7. Кстати, чтобы перейти к этому, математикам пришлось ввести десятичные дроби. Дальше делим еще на десять, получаем: 2,65 меньше, чем “L”, меньше, чем 2,66. Но понятно, что у нас нет никакой гарантии в том, что на каком-то конечном этапе мы точно попадем остатком “флома” в остаток этого расстояния.
Что делать дальше? Математиков это не смущает, они говорят следующее: “Давайте продолжать эту процедуру до бесконечности”. И мы получим две бесконечные последовательности чисел. Левую последовательность и правую. Если окажется, что они стремятся к одному и тому же значению... То есть, если мы будет рисовать точки на графиках, эти две последовательности точек будут сходиться в какой-то точке, то это значение будет длиной компьютера точно. В реальности нам годится такая процедура измерений? Если все надо делать бесконечно много раз, это будет бесконечно долго. Вселенная к этому времени развалится. На самом деле все кончится раньше, чем развалится Вселенная, мы доделим фломастер до одной элементарной частицы. И нам мельче измерять нечем. Вот мы и вернулись к проблеме непрерывности и дискретности нашего мира. Если мы хотим измерять точно, мы должны постулировать непрерывность нашего мира.
Тогда математикам придется выдумать числа, которые описываются бесконечными десятичными дробями. За точкой может быть бесконечная последовательность чисел. Такие числе математики выдумали, это вещественные или действительные числа. Которые описываются в общем случае бесконечными, неповторяющимися дробями. Вещественное число, это довольно хитрый математический объект. Но мы понимаем, что нам до этого все равно никогда не дойти. Поэтому мы должны с прискорбием констатировать тот факт, что точного измерения расстояния мы сделать не можем. На самом деле неприятности начнутся гораздо раньше. Они начнутся с того, что начиная с расстояний порядка микрона, тысячной доли миллиметра, окажется, что остатки и нашего расстояния, и фломастера будут такие, что свет будет проходить мимо них, не искажаясь, и его нельзя будет видеть в обычном понимании этого слова. Не то, что микроскоп его перестает видеть, нет, просто свет его перестает замечать. И сколько ни увеличивай, все равно ничего не увидишь.
Правда, поток частиц света, фотонов, можно заменить более массивными частицами – электронами. А еще лучше тяжелыми ионами. Тогда еще разрешение можно увеличивать. Можно добраться до туннельного микроскопа, потрясающее устройство, которое позволяет видеть если не отдельные атомы, то хотя бы их положение. Когда я увидел первую туннельную фотографию поверхности кристалла, я с удивлением узнал, что атомы, оказывается, коричневого цвета. Я думал, что они красно-синие. Ну, ядро красное, вокруг синие электроны. А вот по мнению дизайнера, который писал компьютерную программу, они коричневые оказывается.
Если мы даже научимся фиксировать отдельные атомы, возникнет большая неприятность, связанная с тем, а что мы называем краем ноутбука или краем доски. Мы зарегистрируем на туннельном микроскопе кристаллическую решетку из атомов. Эти атомы из-за теплового движения, что будут делать? Они будут дергаться. Поэтому эта структура будет не такая статическая. Любое вещество, и металл в том числе, они пахнут, то есть, испаряются. И некоторые атомы срываются с поверхности. И у нас над поверхностью имеется насыщенный пар из газа из этих атомов. В котором концентрация атомов спадает с расстоянием по экспоненциальному закону. А теперь скажите мне, а где здесь граница? На самом деле даже трудно договориться о том, где кончается тело, если мы хотим говорить точно. Ну, и чтобы заставить всех немножко думать, еще один вопрос. А где гарантия, что когда я переношу “флом”, его длина не меняется.
Сергей Ивановский. По тем же самым свойствам.
А.С. Чирцов. Когда я его толкаю за этот конец, не надо думать, что этот сразу начинает двигаться. Я толкаю эти атомы, они приближаются к этим, начинают их толкать... Прежде, чем этот конец сдвинется, наш фломастер сожмется. Точно также, когда я торможу фломастер, эти атомы останавливаются, а эти продолжают двигаться, они растягиваются. Наконец появляются силы обратного притяжения, которые останавливают этот конец. А у нас есть гарантия, что при разгоне он сожмется настолько же, насколько растянется при торможении? А ведь никакой. Конечно, можно проверять. Можно положить одну линейку неподвижно, а другую много раз двигать и потом этой линейкой измерять. Окажется, что они изменила свои свойства. Там возникнут остаточные деформации, даже в классической физике. Вот так плохо измерять малые расстояния.
А как же тогда измерять размеры порядка элементарной частицы? Там же никакая линейка не работает. На самом деле делают так. Представьте себе темную комнату. Смотреть нельзя, мы не видим элементарных частиц и атомов тоже. Там есть объект, который надо измерить, но касаться его нельзя. Есть один способ. По периметру этой комнаты поставить кучу народу, лучше нежных девушек, потом взять пригоршню дробинок и кинуть в темноту. Если там ничего нет, то вся пригоршня пролетит по прямой и попадет в одну девушку, она заорет. Если там есть очень маленький объект, то очень немного частиц отскочит и кроме нашей девушки, стоящей в том направлении, куда мы кидаем нашу пригоршню, только некоторые закричат. А если там большой объект, то будет большое рассеивание, и закричат практически все. Примерно так измеряют сечение рассеивания одних элементарных частиц на другие. Там конечно не девушки, там фотопластинка или какой-то другой регистратор. Но вот так оценивают размеры микрообъектов. Только если вы кинете электроны, вы получите одно значение. Протоны – другое значение. Нейтроны – третье значение. То есть, у вас размер будет зависеть от того, что вы кидаете. Это ужасно. Да, ужасно. Придумайте что-нибудь лучше. Вот такие проблемы с измерением малых расстояний.
С измерением больших расстояний еще хуже. Понятно, что прикладывая хоть “флом”, хоть линейку, можно измерить длину Невского проспекта. Может быть, можно измерить расстояние от Питера до Хельсинки. Но вот расстояние от Питера до Нью-Йорка мы так не измерим. Не говоря уже о расстоянии до Луны от Земли. Тогда есть еще один метод, это метод триангуляции. Мы берем две точки, строим там какие-нибудь башни или триангуляционные вышки. И это расстояние с помощью линейки измеряем точно. Потом строим еще одну вышку и измеряем уголки, под которыми видна эта вышки из этих точек. Когда-то в геометрии была шикарная теорема, что если нам известна сторона треугольника и два угла, то этот треугольник однозначно задан. А это значит, что эти расстояния мы можем сосчитать. Соответствующая наука называется тригонометрия. Плоская тригонометрия. Там такие формулы длинные. Я, помнится, первую свою двойку по математике получил по тригонометрии. Ну, тангенс половинного угла мне никак не запомнить. Мне математик сказал: “Напиши плакат и повесь в туалете”. У меня на даче до сих пор туалет оклеен формулами тригонометрии с тех пор. Правда, есть теорема в математике, теорема Эйлера, которая позволяет всего этого не знать. И когда я оклеил, а мне на математике рассказали, как всего этого можно было не знать, я обиделся. Поэтому пошел в физику, а не в математику.
Ну, вот. Мы можем измерить это расстояние. Дальше мы строим еще одну вышку. Это расстояние мы знаем, уголки меряем. И покрываем нашу планету набором триангуляционных вышек. И, грубо говоря, мы знаем размеры нашей планеты. Если мы знаем размеры нашей планеты, дальше все просто. До Луны расстояние измеряется просто. Мы измеряем угол, под которым видна Луна из одной части планеты и из другой части планеты. Зная радиус планеты и два уголка, мы находим расстояние до Луны. А, значит, и до Солнца. А, значит, и до звездочки. Со звездочкой будет плохо. Расстояние до звезды гораздо больше, чем радиус планеты. Эти уголки будут очень близко друг к другу, и нам не хватит точности, для того, чтобы это расстояние как-нибудь разумно измерить. Но есть одна лазейка. Наша планета летает вокруг Солнца. А расстояние до Солнца мы уже знаем. Поэтому, если угол на звезду мы померяем летом, а потом подождем полгода, пока нас привезут сюда, и померяем зимой, то, зная диаметр нашей орбиты и эти два угла, мы найдем расстояние до близких звезд. Так и меряют, по параллаксу, по триангуляции. Кстати, это все работает, если наше пространство Евклидово. А если наше пространство кривое, то все рухнуло.
Сергей Ивановский. Я, будучи студентом, этого не понимал. Кривое пространство, это именно терминология. Мы не имеем в виду, что что-то здесь находящееся кривое.
А.С. Чирцов. Мы считаем, что те законы тригонометрии, которые мы выучили в школе, здесь работают. А кто сказал, что они работают? Кто проверял эти законы на треугольнике Земля зимой, Земля летом и Альфа Центавра, до которой порядка двух световых лет? Никто же не проверял. Но, вроде как, работают по косвенным данным. Но дальше понятно, что и здесь начинается неприятность. Начиная с каких-то расстояний, наша орбита становится слишком малой. Кстати, это уже расстояние не до ближних звезд, а до галактик. Но есть два способа измерения. Первый, мы помним, что яркость спадает как единица на “R” в квадрате. Поэтому, если мы видим один светящийся объект, до которого мы можем так измерить расстояние, а второй, до которого не можем, а его яркость в 10 тысяч раз слабее, то, составив пропорцию, мы оценим расстояние до того объекта. Понятно, что это основано на предположении, что они изначально одинаково светят. Понятно, что так мы можем наврать не только в 10, не только в 100, но и в 1000 раз. Но придумайте что-нибудь лучше. Другого способа нет на сегодняшний день.
Есть один. До тех объектов, до которых расстояние можно оценивать еще более-менее правдоподобно, есть еще одно свойство: чем они дальше, тем краснее. Это знаменитое красное смещение. Если мы верим, что величина красного смещения пропорциональна расстоянию, то по тому, насколько покраснел объект, можно оценить до него расстояние. Тут много неприятностей. Есть страшный объект квазары. Квази звездные объекты. Дело в том, что они жутко смещены в красную область. Это значит, что они должны находиться, если все это верно, очень далеко. Значит, от них света должно приходить очень мало. А они видны неплохо. Это значит, что они светятся очень ярко. Так ярко, что если все верно, то это какая-то огромная галактика, которая светится. Но размеры галактики, это световые годы. А они мигают. С периодом, бывает, несколько минут. Невозможно синхронизовать работу звезд, разделенных световыми годами, с точностью до нескольких минут или секунд. Поэтому есть проблема. Конечно, найдутся люди, которые точно знают как все устроено. Я не буду повторять их точку зрения. В данном случае я предпочитаю задавать вопросы. Вопросы очень простые: “Откуда вы это знаете? Вы там были?” Вот так с измерением расстояний.
Расстояния мы научились измерять. Теперь, чтобы описать систему, нам с помощью измерения расстояний надо от чего-то начать их измерять. И писать числа. Столько чисел, сколько у нас степеней свободы. Ну, и вот теперь, наверное, если у нас есть сложная система в виде человеческой руки, мы должны будем записать 82 числа, которые опишут положение руки в нашем трехмерном мире. То есть, у нас будет число “X1”, “X2” и так далее. “X82”, я напишу “Xn”. Чтобы указать, что все эти числа относятся к одному объекту, принято их заключать в скобочки. Чтобы не писать n-раз одно и то же, обозначать это одной буквой “X”. Кстати, хороший есть значок в математике, который означает “равно по определению”. А чтобы отличать число от набора из чисел, здесь ставят стрелочку. Мы с вами ввели вектор в n-мерном пространстве. Это просто “n“ чисел. Правда, чтобы это был настоящий вектор, надо договориться, как вектора складывать и как умножать на числа. Очень просто. Если у нас есть еще вектор “Y”, в том же n-мерном пространстве. Это “n” чисел: “Y1”, “Y2”... “Yn”. То суммой двух векторов мы назовем вектор, у которого каждая компонента получается сложением: “X1” плюс “Y1”, “X2” плюс “Y2”... “Xn” плюс “Yn”.
Еще об одном надо договориться – как вектор умножить на число. Если мы хотим на число “альфа” умножить вектор “X”, то надо каждую из компонент умножить на “альфа”. Теперь мы умеем складывать векторы и умножать на число. Кстати, теперь мы умеем и вычитать векторы. Вычесть вектор, это сложить вектор “X” с вектором “Y”, умноженным на минус единицу. Мы умеем с векторами делать все нужные нам математические операции. Можно показать, что от перемены мест слагаемых результат не меняется. С векторами можно работать почти как с обычными числами. Кто-то сказал, что я очень люблю векторы. Да, очень люблю. Потому, что вектор, это очень удобная штука не только для физики. С помощью вектора можно описывать не только положение тела в пространстве, а массу других вещей. Электрическое поле, оно же не похоже на положение тела в пространстве, а вектором описывается. С помощью векторов можно описывать занятость населения города Санкт-Петербурга. Первая компонента, это сколько тех, кто занят производством видео-курсов. Вторая компонента, это сколько зрителей. И так далее. Это позволяет о совершенно разнородных вещах говорить на одном и том же языке. Мы же говорили, что математика, это интернациональный язык.
Ну, вот, про пространство все. Теперь надо говорить про время. Время, это свойство событий следовать одно за другим. Быстренько про свойства времени по аналогии с пространством. Первое было свойство однородности. Что сдвиг по координате ничего не меняет. Если мы передвинем весь мир во времени на три часа назад, и снова нажмем на клавишу “Enter”, если мы верим, что мир будет развиваться по тем же законам, то время однородно. Кстати, если мы верим, что время однородно, в таком мире обязан выполняться закон сохранения энергии. Он выводится из однородности времени. Я не сказал, что из однородности пространства относительно поворота выводится закон сохранения момента импульса. Это некоторое свойство тел, связанное не с движением, а с вращением. Следующее было свойство у пространства, пространство было безграничным. Со временем тут интересно. В прошлом, пожалуй, все признают, что время ограничено. И материалисты, и не материалисты.
Сергей Ивановский. Почему?
А.С. Чирцов. Одни говорят, что был Большой взрыв, в до этого ничего не было, значит, и времени.
Сергей Ивановский. Ну, тут спорно, да? До Большого взрыва...
А.С. Чирцов. Был ли Большой взрыв? Это спорный вопрос. Но здесь как-то все в целом согласны. Я не понимаю почему. А вот с той стороны одни предрекают конец света, а другие говорят: “Нет, мы будем жить и развиваться до бесконечности”. Так, что здесь.
Сергей Ивановский. Мне кажется, что от времени это не зависит. Даже если все взорвется, жизни больше не будет, время, как текло, так и будет течь.
А.С. Чирцов. Тут есть еще одно свойство времени. Если мы говорили, что пространство однородно и можно двигаться в любую сторону и ничего не изменится, то время у нас не изотропно, оно анизотропно. В одну сторону двигаться можно, а в другую сторону двигаться, вроде как, нельзя. Направление течения времени связано с наличием необратимых процессов. Грубо говоря, горячее и холодное превращается в теплое, а обратно оно не делится. Глобально в нашем мире есть горячее, это звезды. И холодное, это межзвездная среда. И вроде температура выравнивается. Пока идет выравнивание, мы понимаем, куда течет время. Оно течет в ту сторону, куда идет необратимый процесс. А когда все выровняется, есть точка зрения, она не столь уж дискуссионная, что тогда время, скорее всего, остановится. У нас не будет направления необратимого, в котором оно развивается. Но это тоже тема длинного разговора, связанного с обратимостью и необратимостью того, что происходит в нашем мире.
Следующее свойство времени. Мы говорили, что пространство трехмерно, что есть объекты, у которых трех чисел достаточно. События во времени описываются тоже многими числами. Например: родился, отучился, стал слушать наши лекции, бросил слушать наши лекции, женился, умер. Как минимум, жизнь человека характеризуется шестью числами. Спрашивается, а есть самые простые события, которые минимальное число требуют временных точек для описания? Ну, да. Вроде как распад элементарной частицы происходит без промежуточных стадий. В этом смысле хочется говорить, что время одномерно. Есть события, которые можно характеризовать одним числом во времени. Тогда естественно говорить о геометрии времени, если оно одномерно. Сейчас в интернете вы найдете массу публикаций о том, что время и многомерно, и искривлено, как пространство. В том смысле, в котором пока мы говорим, оно скорее одномерно. Если мы будем расширять смысл понятия времени, то можно что-то другое придумать. Весь вопрос в договоренности, что мы называем временем.
Естественно, теперь, чтобы измерить промежуток времени, надо сопоставить длительность какого-то процесса, как полет этого фломастера, с каким-то эталонным процессом, его лучше взять периодическим. Пульс. Пульс плохой эталон. Когда мы спокойны, у нас пульс одним способом бьется. Вращение Земли лучше. Кстати, если мы пойдем в малые времена, там окажется, что и колебания маятника уже плохо работают. В качестве маятника можно взять облет электрона вокруг ядра. А если еще меньше времена хотим? Можно поставить близко два зеркальца и сделать световой маятник. Дальше снова возникает вопрос: “Время дискретно или непрерывно?” Мы договорились, что пространство, вроде как, дискретно. Я сказал, что нет меньше элементарной частицы. Есть другие точки зрения. Сейчас более популярна точка зрения Планковской минимальной длины. Есть некоторые фундаментальные константы в нашем мире. Из них можно составить величину, по размерности, равную длине. Получается что-то фантастически маленькое. Считается сейчас, что минимальное расстояние такое. Если у нас есть минимальное расстояние и максимальная скорость, это скорость света, то, поделив минимальное расстояние на максимальную скорость, мы получим минимальный интервал времени. То есть, время тоже, вроде как, дискретно.
Я думаю, об этом мы закончим разговор, что такое пространство и время, как их измерять. Об этом говорить можно бесконечно. Но надо двигаться вперед. И вот теперь, когда у нас что-то измеряется во времени, надо бы научиться описывать, как оно меняется во времени. Делается это следующим образом. Вводится очень важная величина, она называется скоростью изменения какой-то величины. Давайте для начала введем понятие приращения величины. Если величина “X” в момент времени “t” была такой, “X” в момент времени “t”, а спустя некоторый промежуток времени, дельта “t”, превратилась в “X” от “t” плюс дельта “t”... Многие привыкли приращение писать треугольничком. Я тоже раньше так писал, пока не произошло одно событие. Как-то раз я ехал из университета в электричке с одним из выпускников. Он говорит: “Александр Сергеевич, я у вас на семинарах был, так у вас все понятно было. Я только одного не понял. Почему вы приращение “лапласианом” называли?” Дело в том, что под треугольничек в математике зарезервирована некая математическая операция. Она выглядит так: “d” два по “d” “r” “x” дважды, плюс “d” два по “d” “r” “y” дважды, плюс “d” два по “d” “r” “z” дважды. Это в хороших Декартовых координатах, в сферических все страшно выглядит. Без этой операции никуда. Если мы хотим добраться до квантовой механики, там без этого говорить вообще не о чем.
Сергей Ивановский. Я думаю, что стоит пояснить, что такое “d” два по “d” “r”...
А.С. Чирцов. Это команда продифференцировать. А что такое продифференцировать, к этому мы сейчас и подбираемся. Поэтому давайте конечные приращения обозначать такой буквой “d”. Введем понятие приращения величины “X”. Приращение, это очень просто, это новое значение минус старое. Приращение количества денег у вас в кармане за день, это сколько их стало вечером минус сколько их было утром. Кстати, это величина, как правило, отрицательная. По определению, это новое значение минус старое значение. Если мы теперь приращение величины “X” разделим на то время, за которое оно произошло, то есть, сосчитаем отношение дельта “X” к дельта “t”... Мы же с вами умеем умножать вектор на число. Эта величина получила специальное название. Эту величину называют средней скоростью изменения величины “X”. И обозначают так, слово “средняя” заменяют вот такие скобочки. А чтобы не говорить слова “скорость”, над величиной “X” ставят точку. Наличие точки над величиной превращает величину в скорость ее изменения. Можно ввести среднюю скорость изменения денег в вашем кармане. Это сколько стало вечером минус сколько было утром, поделить на 12 часов.
Кстати, если мы нарисуем график зависимости какой-то компоненты вектора “X” от времени... У него же много чисел: “X1”, “X2”, “X3”... А чтобы не писать число, я поставлю здесь какой-нибудь индекс. Пусть у нас ситуация положительная. И мы возьмем один момент времени “t”, момент времени “t” плюс чуть-чуть. Это старое значение, это новое. Поэтому этот отрезок дельта “X”, а этот дельта “t”. Если дельта “X” поделить на дельта “t” и нарисовать такой прямоугольный треугольник, то мы с вами получим, что отношение дельта “X” к дельта “t”, это тангенс вот этого угла. Поскольку наша прямая пересекает наш график, как минимум, в двух точках, то такая прямая называется секущей. Поэтому средняя скорость каждой из компонент вектора численно равна тангенсу угла наклона секущей к графику зависимости этой компоненты от времени.
Но средняя скорость – ужасно плохая величина. Вот у Ричарда Фейнмана есть такой анекдот. То, что он описывает, может только в Америке происходить. Одна молодая леди поехала на автомобиле со скоростью, в Нью-Йорке, 100 миль в час. Увидев это, полисмен ее сразу останавливает: “Вы превысили скорость, платите штраф”. Она говорит: “А что я сделала?” – “Вы ехали со скоростью 100 миль в час”. Она говорит: “Какая глупость, я выехала только 5 минут назад. Никаких ста миль я не проехала. Я не буду платить штраф”. Что скажет полисмен? Он скажет: “Если бы вы также ехали в течение часа, то проехали бы сто миль, а это запрещено правилами вождения транспорта в городе Нью-Йорк. Поэтому платите штраф”. – “Что за глупость? Я еду к приятелю, который живет в двух кварталах отсюда. Я не собиралась ехать час, я не буду платить штраф”. Что сказать полисмену, как ему объяснить, что происходит?
На самом деле вот что. Если мы будем уменьшать интервал времени, если у нас величина меняется не очень сильно, то во сколько раз этот отрезок уменьшится, во столько уменьшится и этот. И тогда можно дельта “t” сделать маленьким, и тогда дельта “X” станет маленьким. Правда, на самом деле у нас график немножечко идет неровно. Поэтому тангенс угла будет постепенно меняться. И когда дельта “t” мы сделаем совсем маленьким, у нас эта точка совпадет с этой. Наша прямая, которая была секущей, коснется нашего графика только в одной точке. Эта точка называется точкой касания, а прямая из секущей превратится в касательную. И тогда каждая компонента вектора уже мгновенной скорости будет, по сути дела, равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции. И тогда мгновенной скоростью мы назовем отношение приращения вектора к интервалу времени, если интервал времени очень мал. И принято писать, что дельта “t” стремится к нулю.
На языке математики стремление к нулю означает, что дельта “t” можно сделать меньше, чем любое число, какое мы выдумаем. Мы только что с вами договорились, что время дискретно. Поэтому то, что так любят делать математики, на самом деле в физике делать нельзя. Конечно, если вы едете на велосипеде из Питера во Владивосток и тратите на это два месяца, то одна минута может рассматриваться как бесконечно малая величина по сравнению с этим. Тогда, наверное, почти так можно считать. Но когда мы доходим до времен порядка времени пролета света через размер элементарной частицы, надо понимать, что там могут жить драконы. И обычное математическое понимание скорости, может быть, перестанет работать. Потому, что математика, это наша выдумка. Никто не гарантирует, что то, что мы выдумали, имеет отношение к тому, что есть на самом деле. Пока все большое и медленное, это работает. Математики так обрадовались, что придумали такую операцию, что они для нее придумали не одно обозначение, а целых три. Иногда пишут “X” штрих по “t”. А иногда пишут, и это мне больше всего нравится, “d” “X” по “d” “t”. Это очень хорошо потому, что это почти то же самое.
Сергей Ивановский. Плавно мы подошли к этому страшному обозначению.
А.С. Чирцов. Это когда конечные приращения, а это когда маленькие. Чтобы не писать каждый раз и не говорить, что дельта “t” стремится к нулю, просто договорились букву “d” писать немного по-другому. Соответствующая математическая операция называется дифференцированием, а вектор, который получается из вектора “X” таким образом, называется производной вектора “X” по времени. Кстати, пусть вас не удивляет, в школе обычно говорят про дифференцирование функций, которые не векторы, но скаляры, это векторы в одномерном пространстве. Поэтому, если мы умеем дифференцировать вектор, то обычные функции мы тоже умеем дифференцировать. Есть математические методы, которые позволяют найти производную, написав значки. Но можно поступить проще. Можно по точкам построить график, провести в интересные нам точки к нему касательные, транспортиром померить угол, посчитать на калькуляторе тангенс – это производная. Так, что дифференцировать, в общем-то, умеет каждый. Но теперь это стало делать еще проще. Если вы на ноутбуке поставите пакет “Wolfram Mathematica”, он дорогой...
Сергей Ивановский. По-моему, там есть более дешевые, типа “Mathcad”.
А.С. Чирцов. Там символьного вычисления нет, там можно численно дифференцировать. Но не надо ничего ставить. Достаточно пойти в интернет и в открытом доступе, бесплатно, есть кусочек этого пакета. Изощренных вещей он не умеет, но дифференцирование, интегрирование – нет проблем. Дальше вы идете в справочник и находите там дифференцирование. Единственная проблема, что там это написано на английском языке. Находите в электронной книге этот объект и там написано, как написать команду продифференцировать функцию. Там есть пример. Вы этот пример копируете в рабочее окно. И в этом окне меняете ту функцию, которая была в примере. Потом нажимаете “Ctrl” “Enter”. И у вас на экране высвечивается математическая функция. Можно дифференцировать и так.
Есть еще одна проблема. Очень часто приходится решать обратную задачу: по скорости найти значение величины. Давайте перепишем наше равенство для какой-нибудь компоненты в обратную сторону. Я сперва перепишу это равенство. Скорость изменения “кситой” компоненты есть отношение приращения “кситой” компоненты вектора “X” к интервалу времени. Тогда приращение “кситой” компоненты, за очень малый промежуток времени, есть скорость ее изменения на интервал времени. Если теперь мы нарисуем график зависимости от времени не самой величины, а скорости ее изменения... Здесь у нас скорость изменения “кситой” компоненты. Пусть наш график идет как-нибудь вот так. То вот за малый промежуток времени, “d” ”t”, он такой маленький, что скорость почти не изменилась. Тогда, если мы величину скорости умножим на интервал, мы получим площадь этого почти параллелограмма, почти прямоугольника. Правда, у него эта сторона немного косо смотрит, но если мы разобьем на очень маленькие кусочки, то будет все нормально. Тогда изменение величины за очень малый промежуток времени просто равно площади этой полоски. А если нас интересует изменение величины от какого-то значения от “t” нулевое до “t” конечное, мы разобьем весь интервал изменения времени на узкие полоски, посчитаем площадь каждой из полосок и площади сложим. Что мы получим? Мы получим площадь под графиком зависимости соответствующей компоненты скорости от времени. Поэтому изменение величины “X” “кситая”, это есть сумма площадей таких полосок. Можно написать так: это сумма... В математике сумму обозначают такой величиной.
Дальше пишут, что такое площадь полоски. “X” с точкой “кситая”... Но у нас в разных точках скорости разные, поэтому мы каждую точку пронумеруем: первая, вторая, третья... На дельта “t” “житая”... И дельта “t” “житая” мы какими должны сделать? Маленькими, чтобы считать, что здесь скорость почти не меняется. Но не такими маленькими, чтобы влезть в проблемы с дискретностью времени. Мы вслед за математиками напишем дельта “t” “житая” стремится к нулю. Мы помним, чтобы так не писать, вместо дельта “t” мы напишем “d” ”t”. Ну, и последнее. Сумма обозначается буквой “S”. Поэтому, чтобы отличать такую сумму, по конечным ширинам, пишут букву “S”, но ее растягивают сверху вниз до невозможности. В виде такой буквы “S”, которая означает взятие интеграла. Здесь пишут “X” “кси” с точкой от “t”, “d” ”t”. И теперь говорят, где надо начать суммировать и где закончить. Такая процедура называется взятием определенного интеграла. На самом деле это всего лишь вычисление площади под графиком.
Друзья мои, научиться дифференцировать просто. Все прямые операции, они простые. Там есть алгоритм как это делать. Например, складывать просто, умножать просто. Обратные операции в математике сложные. Надо угадать то число, которое, будучи умноженным на другое, даст то, что получается при делении. Также обратная процедура дифференцирования и интегрирования, она... Там нет стопроцентных алгоритмов, которые вас приведут к победе. Поэтому, если дифференцирование, это удел всех, кто пошел в физику, в математику, то обратная процедура, это искусство. В свое время весь мир был поделен на две касты. На высшую, умеющую интегрировать. И низшую, не умеющую интегрировать.
Теперь, я думаю, вы поняли, что особенно гордиться умением интегрировать нечего. Потому, что если вы не овладели этим искусством, вы всегда можете нарисовать этот график на миллиметровке и посчитать по клеточкам. А можно интегрировать аналитически. Можно нарисовать этот график, его вырезать ножницами из бумаги, взвесить на аналитических весах. Вес будет пропорционален площади. Это процедура аналитического интегрирования. Это некоторая издевка и насмешка над математиками. Математики под аналитическим интегрированием подразумевают искусство угадывания этих функций. Как вы догадываетесь, если вы пойдете в пакет “Wolfram Mathematica”, скопируете команду “взять интеграл” и напишете там любую функцию и нажмете клавишу “Enter”, то за доли секунды вы получите аналитический ответ. Может быть он будет занимать несколько экранов компьютера. Может быть, он будет выражен через какую-нибудь гипергеометрическую функцию. Но вы ответ снова скопируете и перетащите в окно построения графиков. И там будет нарисован график. Если вы мышку подведете под любую точку графика, там высветится “X” и “t”. Компьютер теперь это делает элементарно. Это я к тому, что гордиться умением интегрировать стало глупо. Это все равно, что гордиться умением извлекать в уме корень 37 степени из 125-значного числа. На калькуляторе это делает каждый.
Надо сказать, что по этому поводу у меня возникают иногда трения с математиками. Я не говорю, что не надо уметь интегрировать, я говорю, что не надо этим гордиться. Мне иногда говорят оппоненты: “А если у вас под рукой нет ноутбука?” А я отвечаю: “А если вдруг склероз?” Какая проблема проще решается? Отсутствие ноутбука или наличие склероза? Поэтому, друзья мои, если у нас появится такой значок, это всего лишь команда нарисовать график... Вернее много графиков для каждой компоненты вектора “X”. Кстати, если график идет в обратную сторону, то эту площадь надо брать со знаком минус, тогда эту полуволну надо класть на другую чашку весов, если вы аналитически интегрируете. А еще проще пойти в пакет и “Wolfram Mathematica” и все будет мгновенно решено.
Это была математика. Теперь можно немножечко поговорить о физике. Мы хотели научиться предсказывать будущее. Для того, чтобы предсказывать будущее нам надо ввести очень важное понятие точечного тела. Я бы сказал так, у любого реального тела, как минимум, шесть степеней свободы. Мы не лезем в квантовую механику. Иногда, ради упрощения и удобства, у тел шесть степеней свободы или больше заменяют тремя. И реальные тела заменяют на выдумку, которая называется математическая модель. Это уже не реальное тело, это тело упрощенное настолько, чтобы оно оказалось по зубам математике. И тогда у нас вектор будет состоять не из n-компонент, а всего лишь из трех. Только тут возникает вопрос: “Относительно чего измерять расстояние?” Дело в том, что создатели нашего мира, это годится для любого варианта, либо его создали, либо он сам возник... Но не было предусмотрено изначально системы отсчета. Как было бы здорово, если бы в небе были неоновые оси координат, и было бы написано: “Универсальная система отсчета”. Нет. Поэтому ее придется сделать самим. Взять какое-нибудь тело, на нем выбрать точку и назвать ее “начальной точкой”. И провести из этой точки три взаимно перпендикулярных прямых, обозначив их, например, “X”, “Y”, “Z”.
Есть только одна договоренность, как располагать эти оси, в каком порядке их называть. Если ось “X” крутить к оси “Y” с помощью кисти руки, то большой палец покажет направление оси “Z”. Правой руки. Если бы я левой рукой крутил “X” к “Y”, ось “Z” надо было бы направить вниз. Поэтому такая система координат называется “Декартовой правой системой координат”. Интересный вопрос. Описание мира изменится, если мы заменим правую систему координат на левую? Если мы отразим мир в зеркале? Надо сказать, что первым этот вопрос серьезно задал математик и, одновременно, писатель, Льюис Кэрролл. Вот когда Алиса смотрела в зеркало, она задавала потрясающий вопрос: “Можно ли пить зазеркальное молоко?” То есть, если мы молоко разберем на элементарные частицы, каждую элементарную частицу отразим в зеркале и соберем зеркальный аналог молока, его пить можно или нельзя? Это непростой вопрос. Долгое время казалось, что можно, что для физики все равно, какую, правую или левую, систему координат мы выберем. А поскольку в химии, да простят меня те, кто выступает против сведения сложного к простому, но в химии ничего кроме физики нет на самом деле, то и химии должно быть все равно. А если химии все равно, поскольку в биологии нет ничего, кроме химии, то и там все равно. И получается, что можно. Все не так просто и об этом тоже когда-нибудь хотелось бы поговорить.
А теперь, если у нас есть какое-нибудь тело, у которого мы оставляется три степени свободы. Мы говорим, что такое тело мы называем материальной точкой. Мы из него опустим три перпендикуляра на оси координат. И получим три числа: “Rx”, “Ry”, “Rz”. Тогда совокупность этих трех координат мы назовем радиус-вектором “R” в трехмерном пространстве. А теперь если наше тело во времени что-то будет делать, его положение будет меняться, тогда эта стрелочка в пространстве начертит некоторую кривую линию, которая будет называться траекторией материальной точки. А теперь, если по известным правилам мы сосчитаем производную этого вектора по времени, то эта величина так часто встречается в физике, что для нее придумали специальное называние и обозначение. Ее называют скорость. По скорости изменение радиус-вектора считать просто. Надо взять три интеграла: по “X”, по “Y”, по ”Z”. Мы нейдем не “R”, а изменение “R”.
Как найти “R”? Если вы знаете, что у вас за сутки количество денег увеличилось на 1000 рублей, можно сказать, сколько у вас денег стало вечером? Нет. Надо знать, сколько их у вас было утром. Поэтому новое значение “R”, это то, которое было вначале плюс интеграл от скорости. Мы можем написать, что “R” от “t”, это начальное значение, плюс перемещение, интеграл от скорости, о котором мы говорили, “V” “d” “t”. Но это еще не все. Поскольку мы теперь умеем считать скорость, мы можем придумать новое пространство. Мы можем вдоль осей координат отложить не “Rx”, “Ry”, “Rz”, а “Vx”, “Vy”, “Vz”. И описывать нашу точку не вектором “R”, а вектором скорости. Мы ввели пространство скоростей, в котором каждая точка и вектор описывает скорости тел. Но скорость может меняться при движении? Тогда вектор скорости нарисует траекторию в пространстве скоростей. Догадываетесь, что можно сделать теперь? Можно продифференцировать скорость. И сосчитать скорость изменения скорости. Эта величина так нужна в физике, что для нее придумали название и обозначение. Ускорение. И также, как по скорости можно найти положение тела, по ускорению можно найти скорость. Но вы догадываетесь, что теперь можно ввести пространство ускорений? И ввести производную от ускорения, которая будет скоростью изменения ускорения. Я бы эту величину назвал “тряской”.
Сергей Ивановский. Почему?
А.С. Чирцов. Когда в автобусе постоянное ускорение, нас прижимает к одной стенке. А когда нас кидает от одной стенки к другой, мы говорим: “Как трясет”. А вот теперь самая главная идея. Мы хотим научиться предсказывать будущее. На самом деле будущее, это не более, чем конфигурация материальных точек, составляющих наш мир. Я готов спорить с этим. Но я студентам люблю говорить такую вещь: “Чем закончится наш с вами курс, это вопрос о том, как молекулы пасты пишущей ручки расположатся на молекулах бумаги вашей зачетки”. Кто-то говорит: “Нет. Важно, что я буду знать”. Я говорю: ”Все, что вы знаете, это лишь электрические импульсы в нейронах вашего головного мозга, а они связаны с движением частиц”. Поэтому, если мы сумеем рассчитать положение всех материальных точек, составляющих мир завтра, мы с вами рассчитаем завтра. Так есть идея. Если бы мы знали скорости в любой момент времени, то взяв начальное положение сейчас и взяв интеграл от скорости, мы найдем положение. Проблема только в том, чтобы знать скорость в любой момент времени.
Если бы мы знали ускорение и начальную скорость, которую можно измерить, то проинтегрировав эту штуку, мы нашли бы скорость в любой момент времени, а, значит, положение. Только какая проблема? Где взять ускорение. Если бы мы знали скорость изменения ускорения, проинтегрировав ее... Вы понимаете, что мы получили бесконечную цепочку. Алгоритм у нас, как говорят, не сходится. Мы так без конца будем вводить новые и новые производные. И у нас ничего не получилось. Когда-то давно нашелся человек, который эту цепочку сумел разорвать. И предложил человечеству рецепт вычисления ускорений. Вы не обращали внимания, почему в школе есть “R”, “V”, “a”, а “тряски” нет? Потому, что она не нужна. Ускорение можно найти без “тряски”. Этого человека звали Исаак Ньютон. Но это уже, наверное, уместно сделать темой некоторой следующей встречи.
Сергей Ивановский. Я думаю, что в ближайшее время должна состояться.
А.С. Чирцов. Это во многом зависит от зрителей.
Сергей Ивановский. Мы, безусловно, почитаем, что нам напишут зрители, но лично я очень доволен. Долго думал, как подойти на более-менее простом уровне к понятиям “производная”, “интеграл”. Из школьного курса я помнил это. Но профессионально этого я бы не донес. Я считаю, что на сегодняшний день мы достаточно понятно донесли до граждан какие-то физические величины. Немного пофилософствовали, предъявили некие механизмы на доске.
А.С. Чирцов. Может быть, стоит попробовать, не знаю, что из этого получится, для желающих сформулировать домашнее задание. Это некоторый набор проблем-иллюстраций к тому, что было сказано. Естественно, у нас здесь не регулярный курс. Мы не учили, как дифференцировать, как интегрировать. Тем не менее, может быть, кому-то захочется поразмышлять. Может быть тогда в постах, в ответах кто-нибудь бы написал решение или попытку решения. Мне бы хотелось предложить некоторое количество небольших задач. И одну задачу, то, что я сегодня не успел. Я бы сейчас это как задачу сформулировал. А в следующий раз мы бы с нее и начали. Потому, что у нее есть интересное продолжение, связанное с “красным смещением”.
Первая задача. Представьте себе огромный зал, где масса ковбоев. Причем ковбои расположены так, что нет двух пар ковбоев, между которыми были бы одинаковые расстояния. Все расстояния между всеми ковбоями разные. Помещение огромное. По команде каждый ковбой выхватывает кольт и стреляет в ближайшего. Доказать, что ни в одного ковбоя не попадет больше пяти пуль.
Сергей Ивановский. Что должен нам предъявить зритель, если он будет считать? Теоретическое пояснение?
А.С. Чирцов. Да. На самом деле это можно описать словами. Тут считать ничего не надо, тут надо доказать. Откуда взялось число пять? Кстати, маленькая подсказка. Если мы придумаем аналогичную задачу, когда в каком-то государстве расстояния между аэропортами все разные. В какой-то момент из каждого аэропорта вылетает один самолет и летит в ближайший аэропорт. То доказательство, которое работает с ковбоями, для Эстонии, Литвы, Латвии и Люксембурга проходит, а для России и США не проходит. Это большая подсказка.
Сергей Ивановский. Тогда мы сделаем следующим образом. Обычно сейчас модно устраивать конкурсы, дарить какие-то призы за участие, за комментарии. В нашем случае такого пока не будет. Но если граждане захотят поучаствовать и написать ответ на это домашнее задание, мы с удовольствием почитаем, посмотрим.
А.С. Чирцов. Ну, еще две задачи, чтобы каждый выбрал, что ему удобно. Следующая задача. Я на нее наткнулся не без анекдота, когда я принимал вступительные экзамены. Тогда еще устные экзамены были. Один абитуриент говорит: “Я ничего не знаю по физике, но я мастер спорта по плаванию”. Я говорю: “И что? Тогда тебе по плаванию задача. Вот это озеро. В него впадает речка. Мы отмеряем одну и ту же дистанцию по реке и по озеру. И договариваемся, что один из нас плывет туда-сюда по неподвижному озеру, а другой плывет по речке. Вопрос. Честное ли это соревнование? А если не честное, какую дистанцию выберет себе Александр Сергеевич? Если меня обогнал в плавании, в соревновании по моим правилам, то поступаешь, не сдав физику”.
Сергей Ивановский. Давайте дадим ответ на вопрос поступил ли студент.
А.С. Чирцов. А они анонимные на экзаменах. И последняя задача. Бабушка с внучкой собирают яблоки. Между ними имеется конвейер, который едет со скоростью “u”. Бабушка с частотой “Мю” с ноликом, частота, это сколько яблок она кладет в секунду, она кладет по яблоку на конвейер. Яблоки едут к внучке. Внучка эти яблоки ест. Спрашивается: с какой частотой внучка будет получать яблоки, если бабушка идет к внучке со скоростью “V”? Тут есть разные случаи. Когда бабушка будет идти медленнее конвейера, будет одно. Если она будет идти быстрее конвейера - другое. А если она будет идти со скоростью конвейера, то будет третье. Именно эта задача позволит нам поговорить в следующий раз, до законов Ньютона, о расширении Вселенной. Там происходит почти то же самое.
Сергей Ивановский. Зрителям предложим решить наши задачи.
А.С. Чирцов. Кому будет интересно и кто захочет. Если кому-то покажется забавным, то пусть развлечется.
Сергей Ивановский. Ну, а на сегодня все.
А.С. Чирцов. Спасибо.
Сергей Ивановский. Благодарю.
Новости
VIP
